Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов

Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля

Представление биномиальных коэффициентов для различных n осуществляется при помощи таблицы, которая имеет название арифметического треугольника Паскаля. Общий вид таблицы:

Показатель степени	Биноминальные коэффициенты
00						C00C00
11					C01C10		C11C11
22				C02C20		C12C21		C22C22
33			C03C30		C13C31		C23C32		C33C33
⋮⋮		……	……	……	……	……	……	……	……	……
nn	C0nCn0		C1nCn1	……	……	……	……	……	Cn−1nCnn-1		CnnCnn

При натуральных nn такой треугольник Паскаля состоит из значений коэффициентов бинома:

Показатель степени	Биноминальные коэффициенты
00								11
11							11		11
22						11		22		11
33					11		33		33		11
44				11		44		66		44		11
55			11		55		1010		1010		55		1
⋮⋮		……	……	……	……	……	……	……	……	……	……	……	……	……
nn	C0nCn0		C1nCn1	……	……	……	……	……	……	……	……	……	Cn−1nCnn-1		CnnCnn

Боковые стороны треугольника имеют значение единиц. Внутри располагаются числа, которые получаются при сложении двух чисел соседних сторон. Значения, которые выделены красным, получают как сумму четверки, а синим – шестерки. Правило применимо для всех внутренних чисел, которые входят в состав треугольника. Свойства коэффициентов объясняются при помощи бинома Ньютона.

Доказательство формулы бинома Ньютона

Имеются равенства, которые справедливы для коэффициентов бинома Ньютона:

• 
  коэффициента располагаются равноудалено от начала и конца, причем равны, что видно по формуле Cpn=Cn−pnCnp=Cnn-p, где р=0, 1, 2, …, nр=0, 1, 2, …, n;
  
• 
  Cpn=Cp+1n=Cp+1n+1Cnp=Cnp+1=Cn+1p+1;
  
• 
  биномиальные коэффициенты в сумме дают 22 в степени показателя степени бинома, то есть C0n+C1n+C2n+...+Cnn=2nCn0+Cn1+Cn2+...+Cnn=2n;
  
• 
  при четном расположении биноминальных коэффициентов их сумма равняется сумме биномиальных коэффициентов, расположенных в нечетных местах.
  

Равенство вида(a+b)n=C0n⋅an+C1n⋅an−1⋅b+C2n⋅an−2⋅b2+...+Cn−1n⋅a⋅bn−1+Cnn⋅bna+bn=Cn0·an+Cn1·an-1·b+Cn2·an-2·b2+...+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bn считается справедливым. Докажем его существование.
Для этого необходимо применить метод математической индукции.
Для доказательства необходимо выполнить несколько пунктов:

1. 
   Проверка справедливости разложения при n=3n=3. Имеем, что
   (a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a2+ab+ba+b2)(a+b)==(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+2a2b+ab2+a2b+2ab+b3==a3+3a2b+3ab2+b3=C03a3+C13a2b+C23ab2+C33b3a+b3=a+ba+ba+b=a2+ab+ba+b2a+b==a2+2ab+b2a+b=a3+2a2b+ab2+a2b+2ab+b3==a3+3a2b+3ab2+b3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3
   
2. 
   Если неравенство верно при n−1n-1, тогда выражение вида(a+b)n−1=C0n−1⋅an−1⋅C1n−1⋅an−2⋅b⋅C2n−1⋅an−3⋅b2+...+Cn−2n−1⋅a⋅bn−2+Cn−1n−1⋅bn−1a+bn-1=Cn-10·an-1·Cn-11·an-2·b·Cn-12·an-3·b2+...+Cn-1n-2·a·bn-2+Cn-1n-1·bn-1
   

считается справедливым.

3. 
   Доказательство равенства(a+b)n−1=C0n−1⋅an−1⋅C1n−1⋅an−2⋅b⋅C2n−1⋅an−3⋅b2+...+Cn−2n−1⋅a⋅bn−2+Cn−1n−1⋅bn−1a+bn-1=Cn-10·an-1·Cn-11·an-2·b·Cn-12·an-3·b2+...+Cn-1n-2·a·bn-2+Cn-1n-1·bn-1, основываясь на 2 пункте.