Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI RAQAMLI TEXNOLOGIYALAR VAZIRLIGI

MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI

Diskret matematika fanidan
Самастаятелное работа
Тема: Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов
Сделал:Najimov Otabek

Toshkent 2023

(x + y)ⁿ
в случаях, когда n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
В настоящем разделе рассматривается общий случай этой формулы, т.е. случай произвольного натурального значения n .
Материал настоящего раздела близко связан с материалом разделов 
Утверждение. Для любого натурального числа n и любых чисел x и y справедлива 

(1)

гдеБиномиальный коэффициент — коэффициент перед членом разложения {\displaystyle (1+x)^{n}}  по степеням {\displaystyle x} . Коэффициент при {\displaystyle x^{k}}  обозначается {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}  или {\displaystyle \textstyle C_{n}^{k}}  и читается «биномиальный коэффициент из {\displaystyle n}  по {\displaystyle k} » (или «число из {\displaystyle n}  по {\displaystyle k} »):
{\displaystyle (1+x)^{n}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}x+{\binom {n}{2}}x^{2}+\ldots +{\binom {n}{n}}x^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}}
для степеней {\displaystyle n} .
Биномиальные коэффициенты могут быть также определены для произвольных {\displaystyle n} . В случае произвольного действительного числа {\displaystyle n}  биномиальные коэффициенты определяются как коэффициенты разложения выражения {\displaystyle (1+x)^{n}}  в бесконечный
{\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n}{k}}x^{k}} ,
где в случае неотрицательных целых {\displaystyle n}  все коэффициенты {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}  при {\displaystyle k>n}  обращаются в нуль и поэтому данное разложение является конечной суммой.
В биномиальный коэффициент {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}  для неотрицательных целых чисел {\displaystyle n}  и {\displaystyle k}  интерпретируется как количество из {\displaystyle n}  по {\displaystyle k} , то есть как количество всех размера {\displaystyle k}  в {\displaystyle n} -элементном
Имеются равенства, которые справедливы для коэффициентов бинома Ньютона:

• 
  коэффициента располагаются равноудалено от начала и конца, причем равны, что видно по формуле Cpn=Cn−pnCnp=Cnn-p, где р=0, 1, 2, …, nр=0, 1, 2, …, n;
  
• 
  Cpn=Cp+1n=Cp+1n+1Cnp=Cnp+1=Cn+1p+1;
  
• 
  биномиальные коэффициенты в сумме дают 22 в степени показателя степени бинома, то есть C0n+C1n+C2n+...+Cnn=2nCn0+Cn1+Cn2+...+Cnn=2n;
  
• 
  при четном расположении биноминальных коэффициентов их сумма равняется сумме биномиальных коэффициентов, расположенных в нечетных местах.
  

Равенство вида(a+b)n=C0n⋅an+C1n⋅an−1⋅b+C2n⋅an−2⋅b2+...+Cn−1n⋅a⋅bn−1+Cnn⋅bna+bn=Cn0·an+Cn1·an-1·b+Cn2·an-2·b2+...+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bn считается справедливым. Докажем его существование.
Для этого необходимо применить метод математической индукции.
Для доказательства необходимо выполнить несколько пунктов:

1. 
   Проверка справедливости разложения при n=3n=3. Имеем, что
   (a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a2+ab+ba+b2)(a+b)==(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+2a2b+ab2+a2b+2ab+b3==a3+3a2b+3ab2+b3=C03a3+C13a2b+C23ab2+C33b3a+b3=a+ba+ba+b=a2+ab+ba+b2a+b==a2+2ab+b2a+b=a3+2a2b+ab2+a2b+2ab+b3==a3+3a2b+3ab2+b3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3
   
2. 
   Если неравенство верно при n−1n-1, тогда выражение вида(a+b)n−1=C0n−1⋅an−1⋅C1n−1⋅an−2⋅b⋅C2n−1⋅an−3⋅b2+...+Cn−2n−1⋅a⋅bn−2+Cn−1n−1⋅bn−1a+bn-1=Cn-10·an-1·Cn-11·an-2·b·Cn-12·an-3·b2+...+Cn-1n-2·a·bn-2+Cn-1n-1·bn-1
   

считается справедливым.

3. 
   Доказательство равенства(a+b)n−1=C0n−1⋅an−1⋅C1n−1⋅an−2⋅b⋅C2n−1⋅an−3⋅b2+...+Cn−2n−1⋅a⋅bn−2+Cn−1n−1⋅bn−1a+bn-1=Cn-10·an-1·Cn-11·an-2·b·Cn-12·an-3·b2+...+Cn-1n-2·a·bn-2+Cn-1n-1·bn-1, основываясь на 2 пункте.биномиальные коэффициенты, представляющие из себя сочетания из n по k, k=0,1,2,…,n, а “!” – это знак факториала).
   
4. 
   
5. 
   К примеру, известная формула сокращенного умножения “квадрат суммы” вида формула есть частный случай бинома Ньютона при n=2.
   
6. 
   

Выражение, которое находится в правой части формулы бинома Ньютона, называют разложением выражения (a+b)n, а выражение формула называют (k+1)-ым членом разложения, k=0,1,2,…,n. Биномиальные коэффициенты для различных n удобно представлять в виде таблицы, которая называется арифметический треугольник Паскаля. В общем виде треугольник Паскаля имеет следующий вид:

Треугольник Паскаля чаще встречается в виде значений коэффициентов бинома Ньютона для натуральных n:


Боковые стороны треугольника Паскаля состоят из единиц. Внутри треугольника Паскаля стоят числа, получающиеся сложением двух соответствующих чисел над ним. Например, значение десять (выделено красным) получено как сумма четверки и шестерки (выделены голубым). Это правило справедливо для всех внутренних чисел, составляющих треугольник Паскаля, и объясняется свойствами коэффициентов бинома Ньютона.