2. Bir jinsli bo‘lmagan va bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi orasidagi bog‘lanish
Biror sonlar maydoni ustida bir jinsli bo‘lmagan noma’lumli ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin:
(8.2)
Teorema. (8.2) sistema ixtiyoriy ikkita yechimlarining ayirmasi (8.1) sistemaning yechimi bo‘ladi.
Isboti: (8.2) sistemaning vektor formasi va (8.1) sistemaning vektor formasi ko‘rinishlarda yozib olaylik. U holda shartga ko‘ra (8.2) sistemaning ixtiyoriy ikkita yechimi va bo‘lib, ularning ayirmasi ga teng bo‘ladi. Bundan esa . Teorema isbotlandi.
Teorema. (8.2) sistemaning ixtiyoriy bitta yechimi bilan (8.1) sistemaning ixiyoriy bitta yechimining yig‘indisi yana (8.2) sistemaning yechimi bo‘ladi.
Isboti: (8.2) sistemaning vektor formasi va (8.1) sistemaning vektor formasi ko‘rinishlarda yozib olaylik. U holda shartga ko‘ra (8.2) sistemaning ixtiyoriy bitta yechimi va (8.1) sistemaning ixtiyoriy bitta yechimi bo‘lib, ularning yig‘indisi
dan iborat bo‘ladi. Teorema isbotlandi.
3. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi yechimlarining fundamental yechimlar sistemasi
Ravshanki, (8.1) sistemaning kengaytirilgan matritsasining -ustuni faqat nollardan tashkil topgani uchun elementar almashtirishlar xossasiga ko‘ra kengaytirilgan matritsaning rangi asosiy matritsaning rangiga teng, ya’ni , bu yerda
va
Kroneker–Kapelli teoremasiga ko‘ra bo‘lsa, (8.1) sistema yagona (trivial) yechimga ega. Bu yechim esa yuqorida ta’kidlab o‘tganimizdek har doim mavjud. Shuning uchun ham biz bu sistemada deb qaraymiz, ya’ni (8.1) sistema aniqmas sistema bo‘lsin va belgilashni kiritaylik.
Ta’rif. ta ozod noma’lumlardan tuzilgan vektor–funksiya ko‘rinishidagi ixtiyoriy yechimlar sistemasi (8.1) sistemaning umumiy yechimi deb ataladi, ya’ni:
,
bu yerda -lar bosh (bazis) o‘zgaruvchilar, lar esa mos ravishda ozod o‘zgaruvchilarning qiymatlari. Bu umumiy yechimdan quyidagi ta yechimni olamiz:
’ ,…, .
Do'stlaringiz bilan baham: |
