Bir jinsli chiziqli algebraic tenglamalar sistemasining fundamental yechimlari tizimi mavzusi tarqatma materiali
Download 44.75 Kb.
|
4-mavzu Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usulida yechish
- Bu sahifa navigatsiya:
- Teorema
Bir jinsli chiziqli algebraic tenglamalar sistemasining fundamental yechimlari tizimi mavzusi tarqatma materiali Ozod hadlari 0 lardan iborat bo’lgan tenglamalar sistemasiga bir jinsli tenglamalar sistemasi deyiladi va u umumiy holda quyidagicha belgilanadi: a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = 0 (1) ………………………………. am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = 0 sistemaning asosiy va kengaytirilgan matritsalarini tuzamiz: a11 a12 … a1n a11 a12 … a1n 0 A = a21 a22 … a2n ; B = a21 a22 … a2n 0 am1 am2 … amn am1 am2 … amn 0 A va B matritsalarning ranglari har doim teng bo’ladi. Haqiqatdan ham B dagi nolli ustunni o’z ichiga oluvchi barcha minorlar nolga teng. B ning rangini aniqlashda bunday ustun hisobga olinmaydi. B matritsa qolgan ustunlari bilan A dan farq qilmaydi. Shu sababli τA = τB. Demak, berilgan (1) bir jinsli sistema doimo yechiladigan sistemadir. (1) sistemani 0, 0,…0 qiymatlar qanoatlantiradi. Bundan ko’rinadiki, bir jinsli tenglamalar sistemasi har vaqt quyidagi yechimga ega: 0, 0,…, 0 Nol yechimga trivial yechim deyiladi. Agar (1) sistemasining yechimlari lardan hech bo’lmaganda bittasi nolga teng bo’lmasa, bu yechim nolmas yechim deyiladi. Agar matritsalarning rangi τA=τB bo’lib, τ=n bo’lsa, berilgan bir jinsli sistema bitta yechimga, ya’ni nol yechimga ega bo’ladi. Agar τA=τB bo’lib, τ Teorema: Bir jinsli tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun sistema matritsasining rangi noma’lumlar sonidan kichiq bo’lishi zarur va yetarlidir. 1- natija. Bir jinsli sistemada noma’lumlar soni tenglamalar sonidan katta bo’lsa, sistema noldan farqli yechimlarga ham ega bo’lishi mumkin. 2- natija. n noma’lumli n ta bir jinsli tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimlarga ega bo’lishi uchun sistemaning determinanti nolga teng bo’lishi zarur va yetarlidir. 1- misol. Berilgan bir jinsli tenglamalarp sistemasini yeching: 2x1 – x2 – 3x3 + x4 = 0 x1 + 3x2 + 2x3 – 2x4 = 0 3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 = 0 6x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 0. Yechilishi: Tenglamalar sistemasining rangini topamiz. Buning uchun A matritsani tuzamiz: 2 -1 -3 1 A = 1 3 2 -2 3 2 2 3 6 4 1 2 Elementar shakl almashtirishni bajaramiz, ya’ni birinchi, ikkinchi va uchinchi satr mos elementlarini o’zaro qo’shib, to’rtinchi satrning mos elementlaridan ayiramiz. Hosil bo’lgan sonlarni to’rtinchi satr elementlari o’rniga yozamiz: 2 -1 -3 1 2 -1 -3 1 A = 1 3 2 -2 ~ 1 3 2 -2 3 2 2 3 3 2 2 3 6 4 1 2 0 0 0 0 A matritsaning determinantini tuzib, uning minorlari ichida noldan farqlisini qidiramiz. Bunday minor mavjud, masalan: 2 -1 -3
3 2 2 Demak, A matritsaning rangi τA = 3 ga teng. Berilgan bir jinsli tenglamalar sistemasidagi noma’lumlar soni 4 ta. Bundan ko’rinadiki, noma’lumlar soni matritsa rangidan katta. Shuning uchun yuqoridagi teoremaga asosan, sistema noldan farqli yechimga ega. Berilgan sistema quyidagi sistemaga teng kuchli: 2x1 – x2 – 3x3 + x4 = 0 x1 + 3x2 + 2x3 – 2x4 = 0 3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 = 0 x1, x2 va x3 noma’lumlar oldidagi koeffisientlardan tuzilgan determinant ≠ 0 bo’lganligi uchun x4 larni tenglikning o’ng tomoniga o’tkazib, hosil bo’lgan sistemani Kramer formulalari yordamida yechamiz ( = 21 ekanligini yuqorida aniqlagan edik): -x4 -1 -3 2 -x4 -3 x1 = 2x4 3 2 = -31x4; x2 = 1 2x4 2 = 43x4; -3x4 2 2 3 -3x4 2 2 -1 -x4 x3 = 1 3 2x4 = -28x4. 3 2 -3x4 U holda, x1 = x4; x2 = x4; x3 = - x4 = - x4 yechimlar topiladi. Bu yechimlar berilgan bir jinsli tenglamalar sistemasining yechimlaridan iborat. Download 44.75 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling