Bir jinsli integral Reja

M i s o l :Tenglamani eching:
u =
Echimi. f (x , u)= , f (x,u)= = .

Berilgan tenglama bir jinsli ekan. Umumiy echimni

u=tx, u = t+xt
kurinishda kidiramiz:
t+xt = xt =1+ t-t ,
t=lnx +C,
y=tx=( lnx +C)x.


Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar.
Ushbu
(1)
ko‘rinishdagi tenglama chiziqli differensial tenglama deyiladi, bunda  va lar biror oraliqda uzluksiz bo‘lgan funksiyalar¹.
Bernulli usuli bo‘yicha, (1) tenglamaning yechimini ikkita noma’lum va funksiyalar ko‘paytmasi ko‘rinishida izlaymiz:
.
U holda uning hosilasi bo‘ladi.
Topilishi kerak bo‘lgan noma’lum funksiya o‘rniga ikkita noma’lum , funksiyalarning kiritilishi g‘aliz tuyuladi. Biroq keyinchalik ko‘ramizki va funksiyalarning birini mos tanlab olinishi ikkinchisini yengil topishga imkon beradi. Natijada topiladi.
Yuqoridagi

larni (1) tenglamadagi  va lar o‘rniga qo‘ysak,

,
ya’ni
(2)
differensial tenglama hosil bo‘ladi. Endi funksiyani shunday tanlaymizki (bu funksiyani ixtiyoriy ravishda tanlash imkoniyatidan foydalanib),

bo‘lsin. Bu differensial tenglama ushbu

o‘zgaruvchisi ajraladigan tenglamaga keladi. Keyingi tenglamani integrallab topamiz:

(3)
Natijada (2) differensial tenglama ushbu

ko‘rinishni oladi. Uni yechamiz:



(4)
(3) va (4) munosabatlardan
(5)
bo‘lishi kelib chiqadi.
Demak,

chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimi

bo‘ladi.

1-misol. Ushbu

tenglamaning umumiy yechimi topilsin.
Bu tenglamaning umumiy yechimini (5) formuladan foydalanib topamiz. Berilgan tenglama uchun

bo‘lib, (5) formulaga ko‘ra


 bo‘ladi. Demak, berilgan tenglamaning umumiy yechimi

bo‘ladi.