Bir jinsli suyuqliklarni filtrlashdagi muvozanatsizlik. Yoriq-kovakli va bir jinsli bo‘lmagan qatlamli plastdagi harakat

G‘ovak atrofidagi dinamik jarayonlar. Yoriq-kovakli plastdagi nostatsionar filtrlash tenglamasi chiziqli bo‘luvchi piezoo‘tkazuvchanlik tenglamasidan murakkab bo‘lsa ham, ular standart usullar bilan to‘liq tadqiq qilishga imkon beradi. Yoriq-kovakli muhitga o‘tuvchi jarayonlar tasnifini g‘ovaklarga yaqin oqimlar misolida kuzatamiz.
Aksimetrik masalani qarab chiqamiz, o‘zgarmas bosimda joylashgan plastda ahamiyatsiz kichik radiusli tirkish orqali sarf bilan suyuqlik tebranishi boshlanadi deb faraz qilamiz.
Qaralayotgan masala silindrli koordinatalarda quyidagi tenglamaning yechimiga keltiriladi:
(18)
uning shartlari quyidagicha:
(19)
Bu masala yoriqlardagi bosim uchun ifodalangan; uni kovakli bloklardagi bosim uchun ham ifodalash mumkin. Shunda chegaraviy shart da quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

Qolgan shartlar va asosiy tenglama o‘zgarishsiz qoladi.
(18)-(19) munosabatlarga Laplas o‘zgartirishlarini qo‘llash orqali quyidagiga ega bo‘lamiz:
(20)
Ushbu shartni quyidagi yechim qanoatlantiradi:
(21)
bu yerda - Makdonald funksiyasi, murojaat formulasi bo‘yicha da (o‘zgarmas debit bilan ishga tushirish)
(22)
Ushbu integral haqiqiy o‘zgaruvchilar bo‘yicha integralga keltirilishi mumkin. parametrning kichik qiymatlarida qabul qilingan yechimning faqatgina asimptotiklarini tahlil qilamiz. (22) ifodani quyidagi ko‘rinishda tasavvur qilamiz:
(23)
da qaralayotgan ifoda elastik rejim nazariyasining taniqli formulasiga o‘tadi. Agar bo‘lsa, u holda Makdonald funksiyasining argumenti bir tekis kichik bo‘ladi, shunda u uchun taqribiy farazdan foydalanish mumkin:

Natijada quyidagiga ega bo‘lamiz:
(24)
(24) munosabatning ma’nosi oddiy: u shuni anglatadiki, agar yoriq-kovakli muhitning xarakterli vaqti juda kichik bo‘lmasa, kvazistatsionar rejimning o‘rta oralig‘I mavjud bo‘ladi, qachonki tirkishdan keladigan suyuqlik unga yaqin bo‘lgan bloklar bilan yutiladi. Faqatgina shunda, qachonki bloklardagi bosim tirkish atrofida yoriqlardagi bosim bilan (ya’ni vaqtning o‘tishi bo‘yicha) taqqoslanadi, plastning ancha uzoqlashgan joylarida suyuqlik almashishining ta’sir qilishi boshlanadi.
Yana bitta holatni belgilab o‘tamiz. (24) munosabat shuni ko‘rsatadiki, ba’zi vaqt oralig‘i mavjud bo‘ladi, shu vaqt mobaynida bosim tirkishda o‘zgarmaydi. Agar vaqti bilan ga ahamiyat bermaslik mumkin bo‘lsa (odatda soniyaning yuzdan bir qismi yoki undan kamroq), u holda (24) dan tirkish debitining sakrash tarzidagi o‘zgarishida undagi bosim sakrash bilan o‘zgaradi, so‘ngra vaqt davomida o‘zgarmas qiymatni saqlab qoladi. Bu haqiqatan ham amaliyotda kuzatiladi va xarakterli vaqt ni baholash uchun foydalanilishi mumkin. Endi aytaylik, tirkish debiti garmonik qonun bo‘yicha davriy o‘zgaradi, shu sababli quyidagicha bo‘ladi:
. (25)
Shunda plastda vaqti bilan bosimlarning davriy taqsimlanishi o‘rnatiladi:
, (26)
bu yerda - bosim tebranishining kompleksli amplitudasi. Uning uchun ifoda yo (18)-(19) masalalardan, yo ma’lum operatsion hisoblash qoidalari orqali ega bo‘linishi mumkin. Natijada quyidagiga ega bo‘lamiz:
(27)
Bu ifodani kichik va katta qiymatlarda tahlil qilamiz. Agar (masalan, o‘lchov bevosita tirkishga keltirilsa) bo‘lsa, u holda taniqli asimptotikadan foydalanish mumkin:

Bu yerda deb tasavvur qilib, quyidagiga ega bo‘lamiz:
(28)
Agar

u holda
(29)
Tirkish atrofidagi bosim tebranishi debit tebranishi bilan sinxron amalga oshadi, shu tarzda, agar biz radius plastida kvazistatsionar filtrlashga ega bo‘lganimizda:
. (30)
Debitning fiksirlangan tebranish amplitudasida bosimning tebranish amplitudasi chastotalarga bog‘liq bo‘lmaydi. Agar bo‘lsa, u holda
(31)
bo‘ladi va quyidagiga teng bo‘lgan fazalarning siljishi kelib chiqadi:
(32)
Bunday asimptotika oddiy egri rejimga mos keladi; bosimning amplituda tebranishi chastotaning oshishi bilan kamayadi. Shu tarzda chastotaning o‘sishi bilan bosimning amplituda tebranishi kamayadi, fazalarning siljishi esa taxminan gacha o‘sadi, so‘ngra fazalarning siljishi kamayishni boshlaydi, bosimning amplituda tebranishi esa o‘zgarmas bo‘lib qolaveradi. Bu holat davriy notinch tirkishdagi bosim tebranishini kuzatish bo‘yicha yoriq-kovakli plastda xarakterli vaqt ni baholash uchun foydalanilishi mumkin.