Bir necha o’zgaruvchining funksiyasi 1

1.1.2. FUNKSIYANING LIMITI

Bir o’zgaruvchi funksiyasining limitini tekshirishda nuqtaning atrofi tushunchasi kiritilgan edi. Bunda Ox o’qdagi nuqtaning atrofi deb interval, ya’ni koordinatasi (yoki ) shartni qanoatlantiruvchi nuqtalar to’plamiga aytilgan edi. Oxy tekislikdagi nuqtaning atrofi tushunchasi shu kabi kiritiladi: bu atrof koordinatalari (yoki ) shartni qanoatlantiruvchi nuqtalar to’plamidir. Geometrik jihatdan nuqtaning atrofi markazi nuqtada bo’lgan, radiusi ga teng doira (chegarasiz) ichida yotuvchi nuqtalardir (4-shakl).

U ch o’zgaruvchi funksiyasi uchun nuqtaning atrofi markazi nuqtada bo’lgan, radiusi ga teng shar nuqtalaridan iborat bo’ladi.
2-ta’rif. Agar son uchun nuqtaning shunday atrofi topilsaki, bu atrofning istalgan nuqtasi ( nuqta bundan istisno bo’lishi mumkin) uchun
(yoki )
tengsizlik bajarilsa, u holda songa ikki o’zgaruvchi
funksiyasining nuqtadagi limiti yoki dagi limiti deyiladi va yoki kabi yoziladi.
Uch va undan ortiq o’zgaruvchi funksiyasining limiti shu kabi ta’riflanadi.
Agar bir necha o’zgaruvchi funksiyasining limiti nolga teng bo’lsa, u holda funksiya cheksiz kichik deb ataladi.
Bir o’zgaruvchi funksiyasi uchun keltirilgan limitlar haqidagi teoremalar (qoidalar)
bir necha o’zgaruvchi funksiyasi uchun ham o’rinli bo’ladi.
2-misol. ni toping.
Y e с h i s h. va .
U holda
.
3-misol. ni toping.
Y e с h i s h. deymiz. ifoda r ning
fiksirlangan qiymatida nuqta markazi koordinatalar boshida bo’lgan, radiusi ga teng aylanada yotishini bildiradi. Bunda barcha dan gacha qiymatlarni qabul qilganda nuqta butun aylanani bosib o’tadi. dan gacha o’zgarganda ga ihtiyoriy musbat son berib aylananing istalgan nuqtasiga tushish mumkin. U holda shart shartga teng kuchli bo’ladi.
Demak,

Shunday qilib, bir o’zgaruvchi funksiyasining limiti va bir necha o’zgaruvchi funksiyasining limiti tushunchalari ko’p umumiyliklarga ega. Shuningdek, bu tushunchalar o’rtasida muayyan farq mavjud. Bu farq quyidagi tarzda namoyon bo’ladi. Bir o’zgaruvchining funksiyasida agar bo’lsa, u holda bo’ladi va aksincha, agar bir tomonlama limitlar mavjud va
t eng bo’lsa, u holda funksiyaning nuqtadagi limiti ham mavjud bo’ladi. Ikki o’zgaruvchining funksiyasi uchun nuqta nuqtaga cheksiz ko’p usullar bilan yaqinlashishi mumkin: ham chapdan, ham o’ngdan, ham yuqoridan, ham quyidan, ham 30° li burchak ostida va hokazo. Bundan tashqari nuqta nuqtaga nafaqat to’g’ri chiziq bo’ylab, balki murakkabroq trayektoriya bo’ylab ham yaqinlashishi mumkin (5-shakl).
Bunda tenglik faqat va faqat nuqta nuqtaga ixtiyoriy yo’nalish va istalgan trayektoriya bo’ylab yaqinlashganda ham limit ga teng bo’lsagina bajariladi. Ikki o’zgaruvchi funksiyasi uchun qo’yilgan bu shart bir o’zgaruvchi funksiyasi uchun qo’yilgan ikkita bir tomonlama limitlarning tengligi shartiga nisbatan qat’iy chegaralovchi talab hisoblanadi.
4-misol. ni toping.
Y e с h i s h. nuqtaga to’g’ri chiziq bo’ylab yaqinlashamiz.
U holda

Bu limitning qiymati to’g’ri chiziqning burchak koeffitsiyentiga bog’liq:
da (ya’ni nuqta to’g’ri chiziq bo’ylab harakatlanganda) limit ga teng; da (ya’ni nuqta to’g’ri chiziq bo’ylab harakatlanganda) limit ga teng va hokazo. Shunday qilib, nuqtaga koordinatalar boshiga turli yo’nalishlar bo’yicha yaqinlashganda funksiya turli limitlarga ega bo’ladi.
Demak, limit mavjud emas.