Bir o’zgaruvchili funksiya uchun differensial hisob hosilavauni hisoblash Tarif
Download 0.69 Mb. Pdf ko'rish
|
1-maruza Hosila va uni hisoblash
- Bu sahifa navigatsiya:
- Hosilaning mexanik ma’nosi.
- Elimentlar funkstiyaning hosilasi.
- Hosilalar jadvali.
|
Hosilavauni hisoblash Tarif. Berilgan y= f (x) funkstiyaning aniqlanish sohasiga tegishli bo’lgan biror nuqtasida olgan ortirmasining argumentining mos ortirmasiga nisbatining quyidagi limiti
( ) ( )
( ) (1) Mavjud bo’lsa bu limit berilgan funkstiyaning hosilasi, deb ataladi. Hosila uchun yana ko’pincha
( )
belgilar ham ishlatiladi. X ning har bir o’zgarmas qiymati uchun
miqdor ning funkstiyasi bo’ladi.
( ) (
) ( ) f funkstiyaning x nuqtada hosilasi mavjud bo’lishi uchun f nainki x nuqtani o’zida, balki uning biror atrofida ham aniqlangan bo’lishi zarur. Shu holdagina ( )funkstiya nolga etarlicha yaqin bo’lgan ( )lar uchun aniqlangan bo’ladi.
Funkstiya hosilaga ega deganda asosan. (1) limit chekli bo’lishligi nazarda tutiladi, lekin agar (1) limit mavjud bo’lib cheksiz ( ) bo’lsa, u holda f funksiya berilgan nuqtada cheksiz hosilaga ega deymiz.
Agar (1) formulada , bo’lganda limit mavjud bo’lsa, bu limitni f funkstiyaning o’ng hosilasi, deb atab, uni
( ) ko’rinishda belgilaymiz. Xuddi shunday, agar (1) limit , lar uchun mavjud bo’lsa, bu limitni f funksiyaning chap hosilasi deb atab, uni
( )ko’rinishda belgilaymiz.
Bunday holat, agar f funkstiya[ ]oraliqda belgilangan bo’lsa, shu oraliqning chekka nuqtalarida yuz beradi. Agar f funksiyaning barcha ( ) nuqtalarda hosilasi, a nuqtada
o’ng hosilasi va nuqtada chap hosilasi mavjud bo’lsa, uholda f funkstiyaning [ ] oraliq dadifferensiyallanuvchi deyiladi. Funkstiyaning berilgan nuqtadagi o’ng va chap limitlari mavjud va teng bo’lishi zarur ekanligidan, funkstiya nuqtada differensiyallanuvchi bo’lishi uchun uning shu nuqtada o’ng va chap nuqtalari mavjud
( )=
( )
( ) bo’lishizarurdir.
Agar funkstiyaning nuqtalar chap va o’ng hosilalari mavjud bo’lib , lekin ular teng bo’lmasa
( )
( ) ), u holda funkstiya shu nuqtada differensiyallanuvchi bo’lmaydi. Misol. y= | | funkstiyauchun
| | | |
Agar va
Agar bo’lsa, u holda yetarlicha kichik lar uchun va
( ) ( )
= - 1 Demak chap hosila -1 ga va o’ng hosila +1 gateng, shu sababli berilgan funkstiya x=0 nuqtada differentstiyalanuvchi emas.
Bizga ma’lumki, y= | | funkstiya x ning barcha qiymatlarida, shu jumladan x = 0 nuqtada ham uzluksiz.
Demak, funkstiyaning nuqtada uzluksizligidan funkstiyaning shu nuqtada hosilasi mavjudligi kelib chiqmas ekan. Lekin, aksi hamisha o’rinli, ya’ni berilgan funkstiyaning nuqtada chekli hosilasi mavjudligidan uni shu nuqtada uzluksizligi kelib chiqadi.
Haqiqatdan, (1) limit biror x nuqtada mavjud va chekli bo’lsa,uholda (1) ni quyidagi ko’rinishda yozsa bo’ladi.
( ) + ( ), buerda ( ) , da (2)
( ) ( )kelib chiqadi. Bunda da limitga o’tsak,
ya’ni funkstiya x nuqtada uzluksiz ekan. Hosilaning geometrik manosi. Faraz qilaylik, (a,b) integralda uzluksiz y = f (x) funkstiya berilgan bo’lsin. Uning grafigi G uzliksiz egri chiziq bo’ladi.G da A(x, f(x)) nuqta olib, shu nuqtada G ga urinib o’tgan to’g’ri chiziq, ya’ni urinmani topish masalalarini ko’raylik. Buning uchun G da boshqa N(x+h,f (x+h)) nuqtani olaylik, bu yerda A va N nuqtalardan o’tgan to’g’ri chiziqning Ox o’qi bilan tashkil etgan burchagi bo’lsa
deb faraz qilamiz 81 – rasmda
⁄ ⁄ larga teng bo’lmagan biror limit ga ega bo’lsa, u holda
(3) Limit mavjud va u f ning x bo’yicha hosilasiga teng, ya’ni
(4)
Va aksincha, agar chekli
( ) hosila mavjud bo’lsa u holda
( ) bo’ladi. Bunda to’g’ri chiziq A nuqtadan o’tib, Ox o’q bilan burchak tashkil etgan AB to’g’ri chiziq holatini egallashga intiladi.
nuqtada o’tkazilgan urinma deb ataladi.
Biz hozir, agar y = f(x) funkstiya biror x nuqtada chekli
( )hosilaga ega bo’lsa, u holda funkstiyaning G grafigiga burchak koeffistenti tg
( ) bo’lgan urinma o’tkazish mumkinligini isbot qildik. Aksincha,
Limitning mavjudligidan chekli
( ) hosilaning mavjudligi va (3) , (4) tengliklarning o’rinli ekanligi kelib chiqadi. Ayrim hollarda teng bo’lmagan chap va o’ng hosilalar mavjud bo’lishi mumkin, bunda A nuqta G ning burchak nuqtasi, deyiladi. Bunday hollarda A nuqtadan G ga hech qanday urunma o’tmaydi, lekin burchak koeffistientlari mos ravishda
( )
( ) Bo’lgan chap va o’ng urunmalar mavjud deyish mumkin Agar funkstiyaning x nuqtadagi hosilasi cheksiz bo’lsa:
U holda quyidagi to’rtta hol yuz beradi. 1)
( )=
2)
( )=
3)
( )=
( )=
o’qiga perpendikulyar bo’lib pastga yo’nalgan va o’ng urinma esa, x o’qiga perpendikulyar bo’lib, yuqoriga yo’nalgan. )
( ) =
,
,
( ) =
bo b, birinchisi tepaga, ikkinchisi pastga yo na gan.
To’g’ri chiziqning analitik geometriyadan ma’lum bo’lgan burchak koeffistenti tenglamasiga ko’ra grafik G ga A (x 0, y 0 )nuqtadao’tkazilgan urinmaning tenglamasi y - y 0 =
( ) ( )(5)
bo’ladi.Shu nuqtada urinmaga perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziqni G ga A (x 0, y 0 ) nuqtada o’tkazilgan normal deb ataymiz. Uning teglamasi y- y 0 =
( ) ( )(6)
bo’ladi. Hosilaning mexanik ma’nosi. Asosiy tushinchalar. Biz bu bobdan boshlab o’quvchi etiboriga oliy matematikaning eng asosiy tushinchalaridan biri differenstial va integral xisobni xovola qilamiz. Differenstial va integral xisobning boshlanғich tushinchalari XVII asrdan vujudga keldi va XVIII asrga kelib ingliz olimi I.Nuyuton va fan olimi G.V.Lebnitslarning buyuk xizmatlari tufayli mukammal nazariya ko’rinishiga keldi. Avval keyingi bo’limda kiritiladigan hosila tushinchasiga asos solgan bir nechta amaliy masalalarni ko’raylik: 1. Moddiy nuqtaning oniy tezligi. Moddiy nuqtaning erkin tushish masalalrini ko’raylik. Agar t tushish boshidan boshlab hisoblansa, shu vaqt ichida bosib o’tilgan yo’l
formula bilan hisoblanadi, bu erda g = 9,81. Nuqta harakatning tvaqtdagi tezligini topish talab qilingan bo’lsin. t o’zgaruvchiga ortirma beraylik va t+ vaqtdan so’ng material M nuqtaning M
holatini ko’raylik. Yo’lning vaqt oraliqida olgan M M
ortirmasini bilan belgilaylik. U holda t o’rniga t+ ni (1) s + =
(t+ ) bo’ladi. Bundan
( )
Agar ni ga bo’lsak. Moddiy nuqtaning MM 1 yo’lni bosib o’tgan o’rtacha tezligini topamiz.
Nuqtaning vaqtdagi oniy tezligi deb,
o’rta tezligining nolga intilgandagi limitiga aytamiz.
(
) Umuman, nuqtaning tekis xarakat tezligi xam xuddi shunday hisoblanadi. Bunda agar xarakat tenglamasi s= f(t) bo’lsa, nuqtaning t vaqtdagi oniy tezligi
=
bo’ladi. 2. Tok kuchi .Q = f(t) simdan t vaqt ichida o’tadigan elektr miqdorini bildirsin. U holda
( ) ( )
Tokning [ ]vaqt oralig’ida o’tgan tok kuchini bildiradi. Shu sababli,
Limit tokning momentdagi kuchini beradi.
3. Massaning taqsimot zichligi. Faraz qilaylik, x o’rnini [ ] kesmasida biror massa umuman notekis tarqalgan bo’lsin. U holda [ ] kesmadagi massa miqdori M = F(x) (a ), yangi ning funkstiyasi bo’ladi, [ ]oraliqga to’g’ri keluvchi massa miqdori ( ) ( ) bo’ladi. U holda shu oraliqdagi o’rtacha massa zichligi
Massaning x nuqtasidagi zichligini beradi. Elimentlar funkstiyaning hosilasi. 1. O’zgarmas C funksiyaning hosilasi nolga teng, chunki bu funkstiya uchun
va
(1) 2. Darajali funksiya y= x n (n= 1,2,..) ning hosilasi (x n ) =
. (2) Haqiqatdan N’yuton binomiga binoan
]
*
( )
+
( )
→
. Differenstiyallashning quyidagi to’rta qoidasi mavjud: ( )
(3) ( )
(4)
=
( )(5)
Bu yerda u =u (x), ( ) lar x ning differenstiallashuvchi funkstiyalaridir. Isboti. Argumentga ortirma beraylik. U holda u =u (x), ( )funkstiyalar ham mos ravishda ortirmalar olishadi. Bundan (( )=[( ) ( )] ( ) va hosilaning ta’rifiga binoan ( )
( )
kelib chiqadi. Xuddi shunday ( ) ( )( ) ( )
( )
Bu yerda differenstiyallanuvchi funkstiya uzluksiz bo’lgani uchun da bo’lishidan foydalaniladi va nihoyat, shu xossaga binoan (
)
=
(
)
( ) =
=
( )
y = Sinx funkstiyaning qaraylik. Uning hosilasi ( )
( )
( )
(
) =
=
(
Bu yerda funkstiyaning uzluksizligidan foydalanildi. Xuddi shunday quyidagi hosilani ham isbot qilsa bo’ladi: ( )
(7) Uholda ( )
(8) ( )
(9) Xaqiqatdan, misol uchun ( )
(
)’ = ( )
( )
( )funkstiya uchun
( )
(
)
(
)
Ikkinchi ajoyib limitga ko’ra,
( )
e Bo’lgani uchun (
)=
e =
. (10) (lnx)=
(10) y =
.Bundan
teskari funkstiyani topamiz. U holda
lna, ya’ni (
)
Xususan, (
) (
)
1. y =arcsinx(| | ⁄ ⁄ ) teskari funkstiya . Shu sababli
√
= √
ya’ni ( )
√
oldida + ishora olinganini sababi ⁄ ⁄ lar uchun 2. ( )
(
( ))
√
3. teskari funkstiya (- ⁄ ⁄ ) u holda ( )
( )
=
5.Xuddi shunday ( )
( ) Ma u k
va n differenstiyalanuvchi funkstiyalar bo lgani uchun murakkab funkstiyaning hosilasi haqidagi teoremaga ko ra (
)
(
)
(
)
7. ( ) ( )
( ) - ko’rinishdagi funkstiyada ( ) ( ) lar ning differenstiyallanuvchi funkstiyalardir. U holda
( )
( )
(
) 8.Ciperbolik funkstiyalar. ( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)=
( ) Hosilalar jadvali. Yuqorida keltirib chiqarilgan hosilani qo’yidagi tartibda jadval ko’rinishda yozib olamiz. 1. y = c
2. y = x
=1 3. y = x a
= ax a-1
y =
= -
y =
√
= √
4. y = a x
= a x . lna y = e x
e x
5.
=
=
y = lnx
6. y = sinx
7.
= - sinx 8.
= se
9.
= -
10.
√
11.
√
12.
√
13.
√
14.
15.
16.
17.
Download 0.69 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|