Bir ózgeriwshili funkciyanıń tuwındısı hám onıń geometriyalıq maǵanası.

Lagranj teoremasi
Eger f(x) funksiya [a,b] aralıqta úzliksiz hám (a,b) aralıqta shekli
tuwındı bar bolsa ol jaǵdayda (a,b) da keminde bir sonday c noqat payda bolıp, teńlik orınlı boladı.
Dalill. Tómendegi járdemshi funksiyanı dúzip alamız :

Bul Ф(x) funksiyasın [a,b] úzliksiz hám (a,b) da tuwındıǵa iye bolǵan f(x) hám x funksiyalarınıń sızıqlı kombinatsiyası sıpatında qaraw múmkin. Bunnan Ф(x) funksiyanıń [a,b] aralıqta úzliksiz hám (a,b) da tuwındıǵa iye ekenligi kelip shıǵadı.
Sonıń menen birge Ф(a)= Ф(b)=0, demek Ф(x) funksiya Roll teoremasınıń barlıq shártlerin qanaatlandıradı.
Demek Roll teoremasına kóre (a,b) intervalda keminde bir sonday c noqat payda bolıp, Ф(c)=0 boladı.
Sonday etip hám bunnan (1) formula kelip shıǵadı.

1. 
   formulanı geyde Lagranj formulası dep da júritiledi. Bul formula
   

kórinisinde de jazıladı.
Endi Lagranj teoremasınıń geometriyalıq mánisine toqtalamiz.

3 -súwret

f(x) funksiya Lagranj teoremasınıń shártlerin qanaatlandırsım deyik.(3-súwret) Funksiya grafiginiń A(a; f(a)), B(b;f(b)) noqatlar arqalı kesiwshi ótkizemiz, onıń múyeshlik koeficienti boladı

Tuwındınıń geometriyalıq mánisine qaray bul funksiya grafigine onıń C(c; f(c)) noqatında ótkizilgen urınbanıń múyeshlik koeficienti . Demek, (1) formula (a,b) intervalda Keminde bir sonday C noqat bar ekenligin kórsetedi, f(x) funksiya grafigine (c; f(c)) noqatda ótkizilgen urınba AB kesiwshige parallel boladı.
Joqarıda kórsetilgen (1) formulanı basqasha kóriniste de jazıw múmkin. Onıń ushın a kóriniske keledi. Bul formula argument arttırıwı menen funksiya arttırıwın baylanıstıradı, usınıń sebepinen (3) formula chekli arttırıwlar formulası dep ataladı. Eger (1) Lagranj formulasında f(a)=f(b) dep alsaq, Roll teoremasi kelip shıǵadı, yaǵnıy Roll teoremasi Lagranj teoremasining jeke halı eken.