Bir ózgeriwshili funkciyanıń tuwındısı hám onıń geometriyalıq maǵanası.

Bir ózgeriwshili funkciyanıń tuwındısı hám onıń geometriyalıq maǵanası.(Roll Lagranj hám Koshi teoremaları)

1. 
   Bir ózgeriwshili funksiya tuwındı
   
   

Sonday eken, berilgen y=f (x) funksiyanıń argument x boyınsha tuwındı dep
argument arttırıwı ∆x iytiyoriy túrde nolǵa intilgan halda funksiya arttırıwı ∆y dıń argument arttırıwı ∆x ga qatnasınıń limitiga aytıladı. Berilgen f (x) funksiyadan tuwındı tabıw ámeli sol funksiyanı differentsiallash dep ataladı. Mısal : y=x² tuwındı tapilsin.
Sheshiw: Berilgen funkciya ushun arttırıw tómendegishe boladı.

Nátiyjede - = +2x - =2x
Bunnan tuwındıǵa kóre
Demek,
2. Differensiallanuvchi funksiya
Eger y=f (x) funksiya x=x₀ noqatda tuwındıǵa iye bolsa, yaǵnıy

bolsa, ol halda berilgen x=x₀ bahada funksiya differensiallanuvchi yamasa (barlıǵı bir) tuwındıǵa iye dep ataladı. Eger y=f (x) funksiya qandayda bir x=x₀ noqatda differensilalanuvchi bolsa, ol halda funksiya sol noqatda úzliksiz bolıp tabıladı.
Roll teoreması.Eger f(x) funkciya [a,b] aralıqta anıqlanǵan bolıp, tómendegi 1) [a,b] da úzliksiz, 2) (a,b) da differenciyalanıwshı, 3)f(a)=f(b) shártlerin qanaatlandırsa, ol jaǵdayda bolatuǵın keminde bir c (aDálillew. Eger f(x) funkciya [a,b] aralıqta úzliksiz bolsa, ol jaǵdayda funkciya óziniń eń úlken M hám eń kishi mánislerinde erisedi.
f(x) funksiya ushın eki jaǵday bolıwı múmkin.
1.M=m, bul jaǵdayda [a,b] aralıqta f(x)=const hám
Kórinip turıptı teńlemeni qanaatlantıratuǵın noqat retinde (a,b) nıń qálegen noqatın alıw múmkin.
2. M>m, bul jaǵdayda teoremanıń f(a)=f(b) shártinen funksiya M yamasa m sheshimlerinen keminde birewin [a,b] aralıqtıń ishki noqatında qabıl etiwi kelip shıǵadı. Anıqlıq ushın f(c)=m bolsın. Eń kishi sheshimine kóre   ushın teńsizlik orınlı boladı.
Endi ekenligin kórsetemiz. Teoremanıń ekinshi shártine kóre f(x) funksiyası (a,b) intervaldıń hár bir x noqatında shekli tuwındıǵa iye.
Bul shárt, atap aytqanda c noqat ushın da orınlı. Sonday eken, Ferma teoremasi shártleri atqarıladı. Bunda ekenligi kelip shıǵadı. F(c)=M bolǵanda jaǵdayda teorema joqarıdaǵı sıyaqlı dalillenedi.

2 -súwret

Roll teoremasına tómendegishe geometriyalıq manis beriw múmkin (2-súwret).

Eger [a,b] aralıqta úzliksiz, (a,b) aralıqta differenciyalanıwshı f(x) funksiya aralıq ushlarında teń sheshimler qabıl etse, ol jaǵdayda f(x) funksiya grafiginda absissası x=c bolǵan sonday C noqat tabıladı, Sol noqatda funksiya grafigiga ótkerilgen urınba abssissalar oǵına parallel boladı.