Birgalikda bo‘lgan va birgalikda bo’lgan hodisalar

Birgalikda bo‘lgan va birgalikda bo’lgan hodisalar.

Faraz qilaylik, hodisa to‘la gruppa tashkil etuvchi birgalikda bo‘lmagan hodisalardan bittasining ro‘y berganlik shartida ro‘y bersin. Bu hodisalarning ehtimollari va hodisaning shartli ehtimollari ma’lum bo‘lsin. hodisaning ehtimolini qanday topish mumkin? Bu savolga quyidagi teorema javob beradi.

Teorema. To‘la gruppa tashkil etuvchi birgalikda bo‘lmagan hodisalardan bittasining ro‘y berganlik shartidagina ro‘y beradigan hodisaning ehtimoli shu hodisalardan har birining ehtimolini hodisaning mos shartli ehtimoliga ko‘paytmalari yig‘indisiga teng:

Isbot. Shartga ko‘ra hodisa ro‘y berishi uchun birgalikda bo‘lmagan hodisalarning bittasi ro‘y bergan bo‘lishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, hodisaning ro‘y berishi birgalikda bo‘lmagan hodisalarning qaysi biri bo‘lsa ham, bittasining ro‘y berishini bildiradi. A hodisaning ehtimolini xisoblash uchun qo‘shish teoremasidan foydalanib, quyidagini hosil qilamiz:
(1)
Har bir qo‘shiluvchini xisoblash lozim. Bog‘liq hodisalar ehtimollarini ko‘paytirish formulasiga asosan


... ... ... ... ... ...

Bu tengliklarning o‘ng tomonidagi ifodalarni (1) munosabatga qo‘yib, to‘la ehtimol formulasini hosil qilamiz:
.

Faraz kilaylik, hodisa to‘la gruppa tashkil etuvchi birgalikda bo‘lmagan hodisalardan biri ro‘y berish shartidagina ro‘y berishi mumkin bo‘lsin. Bu hodisalarning qaysi biri ro‘y berishi avvaldan noma’lum bo‘lgani sababli ular gipotezalar deyiladi. hodisaning ro‘y berish ehtimoli to‘la ehtimol formulasiga asosan aniqlanadi:

Faraz qilaylik, sinash o‘tkazilgan bo‘lib, uning natijasida hodisa ro‘y bergan bo‘lsin. Gipotezalarning ehtimollari qanday o‘zgarganligini ( hodisa ro‘y berganligi sababli) aniqlash masalasini qo‘yaylik. Boshqacha aytganda.

shartli ehtimollarni izlaymiz.
Avval shartli ehtimolni topamiz. Ko‘paytirish teoremasiga asosan quyidagini hosil qilamiz:

Bundan

Bu munosabatda ni (1) formulaga asosan almashtirib quyidagini hosil qilamiz:

Qolgan gipotezalarning shartli ehtimollarini aniqlaydigan formulalar shunga o‘xshash keltirib chiqariladi, ya’ni ixtiyoriy

gipotezaning shartli ehtimollari quyidagi formula bo‘yicha hisoblanishi mumkin:

Hosil qilingan formulalar (ularni 1764 yilda keltirib chiqargan ingliz matematigi nomi bilan) Beyes formulalari deyiladi. Bu formulalar sinash natijasida hodisa ro‘y berganligi ma’lum bo‘lgandan so‘ng gipotezalar ehtimollarini qayta baxolashga imkon beradi.
5-misol. Zavod sexida tayyorlanadigan detallar ularning yaroqliligini tekshirish uchun ikki nazoratchidan biriga tushadi. Detalning birinchi nazoratchiga tushish ehtimoli 0,6 ga teng, ikkinchisiga tushish ehtimoli 0,4 ga teng. Detalni yaroqli deb tan olish ehtimoli 1-nazoratchi uchun 0,94 ga, 2-uchun 0,98 ga teng. Tekshirish vaqtida detal yaroqli deb qabul qilindi. Shu detalni 1- nazoratchi tekshirganlik ehtimolini toping.