Birinchi ta

Reja:

1. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar;

2. Chiziqli differensial tenglamalarning xossalari;

3. Koshi masalasi;

.

" Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar "

Ta’rif. No‟malum funksiya va uning hosilasi birinchi darajada bo‟lgan birinchi tartibli differensial tenglamaga chiziqli differensial tenglama deyiladi. Bunday tenglamaning umumiy ko‟rinishi
_A(x)y'B(x)y C(x) 0 _{(1)
dan iborat. Bunda} A(x), B(x), C(x) _{ko‟rilayotgan oraliqda uzluksiz
f}unksiyalardir. Agar ko‟rilayotgan oraliqda ning hamma qiymatlarida A(x) 0 _{bo‟lmasa, (1) tenglamani}
y'p(x)y Q(x) ₍₂₎ Ko‟rinishga keltirish mumkin.

_Bunda p(x) _A(x), Q(x) _A(x)
(2) tenglamaga bir jinsli bo‟lamagan chiziqli differensial tenglama deyiladi. _{Agar (2) da} Q(x) 0 _bo‟lsa
y'p(x)y 0 ₍₃₎ tenglamaga bir jinsli chiziqli differensial tenglama deyiladi( (2) tenglamaga mos bo‟lgan).
(3) tenglama o‟zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir.
^{dy p(x)dx n y }^{p(x)dx nc y c}^p(x)dx (4

)
с ning o‟zgarmas qiymatlarida (4), (3) tenglamani qanoatlantiradi. Ya‟ni (3) tenglamaning umumiy yechimi bo‟ladi. (2) tenglamaning ham umumiy yechimini ni ning funksiyasi deb, (4) ko‟rinishda izlaymiz.

U holda (4) dan
y'c'(x)^p(x)dx c(x)p(x)^p(x)dx ₍₅₎ (4) va (5) ga asosan (2) tenglama
c'(x)^p(x)dx c(x)p(x)^p(x)dx c(x)p(x)^p(x)dx Q(x)

c'(x)^p(x)dx Q(x) c'(x) ^p(x)dxQ(x) Bundan
^{с(x) }^p(x)dx^{Q(x)dxc (6)}

U holda (4) va (6) ga asosan (2) ning umumiy yechimi

^{y }^p(x)dx_^p(x)dx^{Q(x)dxc} _ ⁽₇⁾ bo‟ladi.
Bu bir jinsli bo‟lmagan chiziqli tenglamaning umumiy yechimini topish formulasi.
(7) dan ko‟rinadikim chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimi, ikkita kvadratura bilan aniqlanadi.
Chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimini bunday usul bilan topishga, o‟zgarmaslarni variasiyalash usuli yoki Lagranj usuli deyiladi.
Bir jinsli bo‟lmagan differensial tenglamaning umumiy yechimini ikkita yechimlar yig‟indisidan iboratdir.
_{Ulardan biri} с ^{p(x)dx}` _{bir jinsli (3) tenglamaning umumiy yechimidan,} ikkinchisi esa, (2) tenglamaning xususiy
^^P(x)dx _^p(x)dx^Q(x)dx_yechimdan iboratdir.
(7) ni integrallab bo‟lgach u quyidagi ko‟rinishga keladi.
y c(x) (x) c const
Bundan ko‟rinadikim chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimi ixtiyoriy o‟zgarmasga nisbatan chiziqli funksiyadan iboratdir.
(2) tenglamaning umumiy yechimini Eyler-Bernulli usulidan foydalanib topish ham mumkin.
(2) tenglamada
_y u₍₈₎
almashtirishni olamiz. Bunda va lar ixtiyoriy uzluksiz
differensiallanuvchi funksiyalardir.
y'u'u'
_u'u'p(x)uQ(x) ₍₉₎ u'(u'p(x)u) Q(x) ₍₁₀₎
funksiya ixtiyoriy bo‟lgani uchun, uni shunday tanlab olamizkim u'p(x)u 0
sharti bajarilsin.

_Bundan ^du p(x)dx

^{nu }^{p(x)dx u }^p(x)dx ⁽¹¹⁾ (11) ni (10) ga olib borib qo‟ysak
^^p(x)dx ^{Q(x) '}p(x)dx^{Q(x) }^p(x)dx^{Q(x)dxc (12)} ga ega bo‟lamiz
(8), (11), (12) ga asosan bir jinsli bo‟lmagan differensial tenglamaning umumiy yechimi.
^{y }^p(x)dx_^p(x)dx^{Q(x)dxc}_

Chiziqli differensial tenglamalarning xossalari

Chiziqli differensial tenglama quyidagi xossalarga ega:

1-xossa. Agar bir jinsli bo‟lmagan chiziqli differensial tenglamaning bitta

xususiy ₁ yechimi berilgan bo‟lsa, uning umumiy yechimi bitta kvadratura bilan aniqlanadi.

_Isbot. ₁

Ya‟ni
(2) tenglamaning yechimi bo‟lsin
_y_{p(x)y Q(x) (13)}

_y z y₁
almashtirishini olamiz. Bunda


₍14) z _{yangi no‟malum funksiyadir.}

_{(14) dan} y'y^z' ₍₁₅₎ (14) va (15) ga asosan (2) tenglama
_y_{z'p(x)(y z) Q(x) yoki} z'p(x)z(y₁ 'p(x )Q(x))0
bundan z'p(x)z 0
bu esa bir jinsli chiziqli differensial tenglama bo‟lib, uning umumiy yechimi
_{bitta kvadratura yordamida aniqlanadi. Bu topilgan} z _{qiymatini (14) ga} qo‟ysak (2) tenglamaning umumiy yechimiga ega bo‟lamiz.

2 xossa. Agar ₁ bir jinsli chiziqli (3) tenglamaning yechimi bo‟lsa, u holda cy ham (3) tenglamaning yechimi bo‟ladi.
_{3 xossa. Agar (2) tenglamaning ikkita} y₁, y_{2 xususiy yechimlar berilgan} bo‟lsa, uning umumiy yechimi kvadraturasiz aniqlanadi.
_{Haqiqatdan ham} y₁, y_{2 tenglamaning yechimi bo‟lgani uchun} y¹ p(x)y Q(x)
y₂ p(x)y₂ Q(x)
_{bularni hadlab ayirsak} y₂ y¹ p(x)(y₂ y ) 0 ^d(y_d^{y )} p(x)(y₂ y ) 0
bundan ko‟rinadikim, bir jinslimas chiziqli differensial tenglamaning
2 ta xususiy yechimlar ayirmasi, bir jinsli tenglamaning yechimi bo‟ladi. U holda 1 va 2 xossaga asosan, (2 ) tenglamaning umumiy yechimi
y y c(y₂ y ) dan iborat bo‟ladi.

^Misol 1. Berilgan chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimini _toping: xy'y x³
Yechish:
_xy'y x³ _{bu differensial tenglamani quyidagi ko‟rinishda yozib olamiz}

^y'_x ^{y x2} bu birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama bo‟lib ^{uning umumiy yechimini y }^p(x)dx_^p(x)dx^{Q(x)dxc}_ ^f_o‟r^m_ul^a yordamida topamiz:
dx dx
^{y } x ^^ x ^x2^{dxc}n x ^n x ^x2^{dxc }_x ^xx2^{dxc }

4 3 _x x³dxc _x ₄ c_x ₄

3
_{Demak tenglamaning umumiy yechimi} y _x _{4 ga teng ekan.}


Misol 2.
Berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimini toping: x 2xy y² y'y² 0
Yechish: Berilgan differensial tenglamani quyidagi ko‟rinishda yozib

olamiz:
^dy y^2
dx x2xy y<sup>2

d</sup>x x2xy y^2
dy y²

^dx _^12y _{x 1} x'^12y x 1 _{bu tenglama x funksiyaning hosilasiga}

nisbatan yechilgan birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamadir. Uning

^{umumiy yechimini topish uchun y }^p(x)dx_^p(x)dx^{Q(x)dxc}_fo‟rmuladan foydalanamiz. Berilgan tenglamamizda y(x) funksiya o‟rnida x(y)

^funksiya, P(x) o‟rnida ^{P( y) }
12y
_y² , Q(x) o‟rnida Q(y)=1 funksiyalar

kelgan, bularni fo‟rmulaga qo‟yib umumiy yechimni topamiz.

^{x }12ydy ^^12y ^{dy c}y2n y ^^y2n y ^{dy c}

1 1 1 1
^y y² _ ^y  dy c_^y y² _ ^y d c_ 

1 1
^y y² _ ^y 
1
c_c^y y² y² 

Demak berilgan differensial tenglamamizning umumiy yechimi 1
_x c^y y² y² _{ga teng ekan.}

Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama integral chiziqlarini geometrik nuqtai nazardan tekshiramiz.

y'p(x)y q(x)

tenglamaning ikkita va

(16)
xususiy yechimlari berilgan bo‟lsin.

Ma‟lumki u holda (16) tenglamaning umumiy y y c(y₂ y )
dan iborat.
Faraz etamiz, (16) tenglamaning
yechimi

(17)

xususiy yechimlaridan tashqari

uning yechimi ham ma‟lum bo‟lsin.

Bu yechim, (17) umumiy yechimdan ning y₃ y c (y₂ y )
Quyidagi tengliklarni tuzamiz;
qiymatida aniqlanadi, ya‟ni

(18)

y₂ y₃ y₂ y₁ c₁(y₂ y₁) (y₂ y₁)(1c₁)

y₃ y₁ c₁(y₂ y₁) Bularni hadlab bo‟lsak.
y₂ y₃ 1c y₃ y c
ga ega bo‟lamiz.

(19)

(19) tenglikdan ko‟rinadikim, chiziqli differensial tenglamaning har qanday integral chizig‟i, bu tenglamaning ikkita integral chiziqlari orasidagi ordinata kesmasini o‟zgarmas nisbatda bo‟ladi.
(19) dan
^M2M3 ^N2N3 .... (20) 1 3 1 3
ga ega bo‟lamiz.

Bu tenglikdan ko‟rinadikim, integral chiziqlarni kesuvchi to‟g‟ri chiziqlar yo bir-birlariga parallel bo‟ladilar yoki ular bir nuqtada kesishadilar.

Agar N₁N₂ kesmasini M₁M₂ kesmasiga yaqinlashtirsak, integral chizig‟ini kesishuvchi chiziqlar, integral chiziqlarining urunma chiziqlariga aylanadi. Shunday qilib, integral chiziqlarning ordinata o‟qiga parallel bo‟lgan tug‟ri chiziqlar bilan kesishgan nuqtalariga o‟tkazilgan urunmalar yo bir-birlariga parallel bo‟ladi yoki ular bir nuqtada kesishadilar.