Биринчи тур эгри чизиқли интеграллар

3⁰. Биринчи тур эгри чизиқли интегралларнинг баъзи татбиқлари. Биринчи тур эгри чизиқли интеграллар ёрдамида эгри чизиқнинг узунлигини, жисм­нинг массасини, оғирлик марказини, инерция моментларини топиш каби масала­лар ҳал этилади.
1. Текисликда узунликка эга бўлган эгри чизиқнинг узунлиги ушбу
(6)
интеграл ёрдамида топилади.
2. Текисликда узунликка эга бўлган эгри чизиғи бўйича масса тарқа­тил­ган бўлиб, унинг зичлиги бўлсин. Бу эгри чизиқнинг массаси ушбу
(7)
оғирлик марказининг координаталари эса қуйидаги
(8)
интеграллар ёрдамида топилади.
3. Текисликда узунликка эга бўлган эгри чизиқнинг ва коор­дината ўқларига нисбатан статик моментлари ушбу
(9)
формула билан, шу ўқларга нисбатан инерция моментлари эса қуйидаги
(10)
инеграллар ёрдамида топилади.
3-Мисол. Ушбу

тенгламалар системаси билан аниқланган эгри чизиқ (астроида) нинг узунлиги топилсин.
◄Астроида координаталари ўқларига нисбатан симметрик бўли­шини эътиборга олиб (6) формулаларидан фойдаланиб топамиз:

. ►
4-мисол. Чизиқнинг зичлиги бўлган массали эгри чизиқ параболанинг массаси ҳамда оғирлик маркази топилсин.
◄ (7) формулага кўра параболанинг массаси

бўлади. Энди биринчи тур эгри чизиқли интегрални (4) формулага кўра аниқ интегралга келтириб ҳисоблаймиз:

.
Қаралаётган массали параболанинг оғирлик марказининг коорди­на­та­ларини (8) формуладан фойдаланиб топамиз:
,


Демак,
.
Худди шунга ўхшаш

бўлиши топилади.
5-мисол. Ушбу айлананинг унинг диаметри-га нис­ба­­тан инерция моменти топилсин.
◄Берилган айлананинг параметрик тенгламаси

бўлади. Айлана диаметрини ўқга жойлаштириб сўнг (10) фомуладан фойдаланиб топамиз.
. ►
Эслатма. Айтайлик, эгри чизиқ фазовий эгри чизиқ бўлиб, бу чизиқда функция берилган бўлсин. Юқоридагидек функ­ция­нинг эгри чизиқ бўйича биринчи тур эгри чизиқ­ли интеграл тушунчаси киритилади ва ўрганилади.