Birinchi tur sirt integrali

1-teorema.Agar f(x,y,z) funksiya (S) sirtda berilgan va uzluksiz bo ‘lsa , u holda bu fuksiyaning (S) sirt bo ‘yicha birinchi tur sirt integrali

mavjud va

bo ‘ladi.
Isbot.(S) sirtning bo ‘linishini olaylik . uning bo ‘laklarini
bo'lsin. Bu sirt va uning bo'laklarining Oxy tekislikdagi proeksiyasi (D) sohaning bo'laklashni va uning bo ‘laklarni hosil qiladi.
bo`laklashiga nisbatan (1) yig ‘indini tuzamiz.

Ma’lumki, .Bu nuqtaga akslanuvchi nuqta nuqta
bo ‘ladi.Demak , formulaga binoan

bo`ladi.
O `rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanib topamiz:

Natijada yig ‘indi quydagi


Ko ‘rinishga keladi.
Endi da (bu holda ham nolga intiladi) yig ‘indining limitini topish maqsadida uning ifodasini o ‘zgartitib yozamiz:

(4)
Bu tenglikning o ‘ng tomonidagi ikkinchi qo ‘shiluchini baholaymiz :

Bunda

Ravshanki

Funksiya (D) da uzluksiz , desak ,demak, tekis uzluksiz. U holda Kantor
teoremasining natijasiga ko ‘ra olinganda ham shunday topiladiki,
(D) sohaning diametri bo ‘lgan har qanday bo ‘lishi uchun

bo ‘ladi.Unda


va demak

(4)tenglikning o ‘ng tomonidagi birinchi qo ‘shiluvchi

Esa

Funksiyaning integral yig ‘indisidir.Bu funksiya (D) sofada uzluksiz.Demak , da integral yig ‘indi chekli limitga ega va


Bo ‘ladi. Bu munosabatni etiborga olib (4) tenglikda da limitga o ‘tib topamiz.
Demak:

Teorema isbot bo`ldi.