Birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallar orasidagi bogʻlanish. Reja

2. Birinchi tur egri chiziqli integrallarning hossalari
1º. Agar funksiya AB yoy bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lsa, u holda funksiya ham AB yoy bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lib, tenglik o‘rinli.
2º. Agar va funksiyalarning har biri AB yoy bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lsa, u holda funksiyalar ham AB yoy bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lib,

tengliklar o‘rinli.

3º. (additivlik xossasi). Agar AB yoy biror C nuqta orqali ikkita AC va CB yoylarga ajratilgan bo‘lib, funksiya AC va CB yoylarning har birirda integrallanuvchi bo‘lsa, u holda u AB yoy bo‘yicha ham integrallanuvchi bo‘lib,
tenglik o‘rinli.


Ikkinchi tur egri chiziqli integral
1. Tekis kuch maydonining bajargan ishi. Oxy tekislikda moddiy figurani ifodalovchi yopiq D soha berilgan bo‘lsin va har bir nuqtadagi massaga ta’sir qiluvchi kuch berilgan bo‘lsin. Bu holda D sohada kuch maydoni berilgan deyiladi.
Aytaylik, kuch maydoni ta’sirida moddiy nuqta D sohada joylashgan to‘g‘rilanuvchi BC chiziq bo‘ylab harakat qilsin. Moddiy nuqtani kuch maydoni ta’sirida B nuqtadan C nuqtaga o‘tguncha bajargan A ishini topish talab qilingan bo‘lsin
Masalani hal qilish uchun BC yoyni nuqtalar yordamida ixtiyoriy ravishda n ta bo‘lakka ajratamiz. Bir xillik bo‘lishi uchun deb belgilaylik. nuqtaning koordinatalarini orqali belgilab, va nuqtalarni to‘g‘ri chiziq kesmasi bo‘yicha tutashtirib, BC chiziqqa ichki chizilgan siniq chiziqni hosil qilamiz. yoyda ixtiyoriy nuqta olib kuchning bu nuqtadagi qiymatini orqali belgilaymiz.

to‘g‘ri chiziq kesmasida ta’sir etuvchi kuch o‘zgarmas va u deb olsak, u holda kuchning to‘g‘ri chiziqli qismda bajargan ishi quyidagi formula bo‘yicha topiladi:

bu yerda vektorning uzunligi, vektorning uzunligi, esa va vektorlar orasidagi burchak.

kuchning abssissa va ordinata o‘qlaridagi proyeksiyalarini mos ravishda va orqali belgilasak, u holda va tengliklarga ega bo‘lamiz, bu yerda va lar birlik vektorlar.

va lar vektorning abssissa va ordinata o‘qlaridagi proyeksiyalari bo‘lgani uchun, quyidagi tenglikni yozib olamiz:
(1) tenglikning o‘ng tomoni va vektorlarning skalyar ko‘paytmasi bo‘lgani uchun tenglikni hosil qilamiz.
Yuqoridagi farazimiz bo‘yicha moddiy nuqta kuch ta’sirida siniq chiziq bo‘ylab, B nuqtadan C nuqtaga o‘tganda bajargan ishi quyidagicha topiladi:

bo‘lakchalar qancha kichik bo‘lsa, ning qiymati kuch maydonining bajargan ishi A ga yetarlicha yaqin bo‘ladi. bo‘lakchalarning uzunliklarining eng kattasi deb olaylik.

Agar (2) yig‘indi da limitga ega bo‘lib, bu limit BC yoyni bo‘laklarga bo‘lish usuliga va bo‘lakchalardan nuqtalarni tanlab olinishiga bog‘liq bo‘lmasa, u holda bu limit kuch maydonining BC yoy bo‘ylab, B dan C ga o‘tganda bajargan ishi deb olinadi, ya’ni

Agar yoki bo‘lsa, u holda (2) formula o‘rniga mos ravishda quyidagi yug‘indilarga ega bo‘lamiz:

Ko‘pgina nazariy va tatbiqiy masalalarni yechish (2) va (3) yig‘indilarni limitlarini topishga keltiriladi. Shuning uchun bunday yig‘indilarning limitlarini topishni o‘rganish katta ahamiyatga ega.