Birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallar orasidagi bogʻlanish. Reja

Birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallar orasidagi bogʻlanish. Reja

Birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallar orasidagi bogʻlanish.
Reja:

1. 
   
   Birinchi tur egri chiziqli integrallar orasidagi bogʻlanish.
   
2. 
   
   Ikkinchi tur egri chiziqli integrallar orasidagi bogʻlanish.
   

Birinchi tur egri chiziqli integrallar

1. 
   
   Tekis moddiy yoy massasi haqidagi masala. Tekislikda to‘g‘rilanuvchi AB yoy berilgan bo‘lib, uning har bir (x,y) nuqtasidagi chiziqli zichligi bo‘lsin
   

Egri chiziq yoyi massasini topish talab qilinsin.

Shu maqsadda egri chiziqni nuqtalar yordamida ixtiyoriy ravishda n ta bo‘lakka bo‘lamiz ( deb olamiz).
Egri chiziqning yoyidan biror nuqta olib, shu nuqtadagi zichlik ni hisoblab chiqamiz. Bu yoyning barcha nuqtalardagi zichlik ham taqriban ana shu ga teng deb hisoblasak va yoy uzunligini bilan belgilasak, bu yoyning massasi uchun ushbu taqribiy ifodani hosil qilamiz. Izlanayotgan umumiy massa uchun esa
uzunliklarning eng kattasini bilan belgilab, limitga o‘tsak, aniq formulaga ega bo‘lamiz.

Matematika va mexanikadagi ko‘pgina masalalarni yechish (1) ko‘rinishdagi yig‘indilarning limitini topishga olib keladi.

Umuman, shu xildagi limitlarni o‘rganaylik. Shu maqsadda ko‘rilayotgan masaladan bir oz chetga chiqamiz. Tekislikdagi to‘g‘rilanuvchi uzluksiz AB yoyda aniqlangan funksiya olib, yuqorida tasvirlangan jarayonni takrorlaymiz: AB yoyni elementar yoylarga ajratib, ularda bittadan nuqtalar tanlaymiz va funksiyaning shu nuqtalaridagi qiymatlari larni hisoblab,
yig‘indini tuzamiz, bu funksiyaning AB yoydagi integral yig‘indisi deyiladi.
(2) yig‘indi umuman olganda AB yoyni bo‘laklarga bo‘lish usuliga va bo‘lakchalardan nuqtalarni tanlab olinishiga bog‘liq.
Ta’rif. Agar da (2) integral yig‘indi chekli limitga ega bo‘lib, u AB yoyni bo‘laklarga bo‘lish usuliga va bo‘lakchalardan nuqtalarni tanlab olinishiga bog‘liq bo‘lmasa, bu limit funksiyadan AB yoyi uzunligi bo‘yicha olingan birinchi tur egri chiziqli integrali deyiladi va quyidagicha belgilanadi: .
Bu holda funksiya AB yoy boyicha integrallanuvchi deyiladi.
Bu yerda s-AB yoyning uzunligi va ds-elementar uzunliklarni eslatadi.
Shunday qilib, yuqoridagi moddiy egri chiziqning massasi uchun chiqarilgan ifodani quyidagicha yozish mumkin: