Bizga ikkita diferensiallanuvchi u(X) va v(X) funksiyalar berilgan

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI


ABU RAYHOH BERUNIY NOMIDAGI TOSHKENT DAVLAT TEXNIKA UNIVERSITETI






MAVZU:
BO’LAKLAB INTEGRALLASH VA RATSIONAL KASRLARNI INTEGRALLASH


Bajardi: Po’ldtova B. Tekshirdi: Shomuhamedova A.


Toshkent-2015

BO’LAKLAB INTEGRALLASH
Bizga ikkita diferensiallanuvchi u(x) va v(x) funksiyalar berilgan .bo’lsin. Bu funksiyalar ko’paytmasi (uv) ning differensialini topaylik. Bu differensial quyidagicha aniqlanadi:
d(uv)=udv+vdu
Buni ikki tomonini hadma-had integrallab, qo’yidagini topamiz:

uv  _ udv  _ vdu


yoki
_ udv
 uv  _ vdu

(1)

Oxirgi topilgan ifoda bo’laklab integrallash formulasi deyiladi.

Bu formulani qo’llab integral hisoblaganda

_ udv

ko’rinishdagi integral, ancha

sodda bo’lgan

_ vdu

ko’rinishdagi integralga keltiriladi.

Agar integral ostida u=lnx funksiya, yoki ikkita funksiyaning ko’paytmasi, hamda teskari trigonometrik funksiyalar qatnashgan bo’lsa,bunda bo’laklab integrallash formulasi qo’llaniladi. Bu usul bilan integrallanganda yangi o’zgaruvchiga o’tishning hojati yo’q.
Umuman aniqmas integralni hisoblaganda topilgan natija yoniga o’zgarmas (C=const) ni qo’shib qo’yish shart. Aks xolda integralning bitta qiymati topilib, qolganlari tashlab yuborilgan bo’ladi. Bu esa integrallashda xatolikka yo’l qo’yilgan deb hisoblanadi.

Misol.
_ xarctgxdx

ni hisoblang.

u  arctgx dv 
(bunda C=0 deb olindi)
(1) formulani qo’llaymiz
xdx du 
dx



1  x²
v  _
xdx 
x² / 2

2


xarctgxdx  ^x
2
_x 2
2

x
arctgx  _{ 2(1  x 2 )} dx

(*)

ni alohida hisoblaymiz
_x 2
1  x ²  1
^ 1  x ^{2 dx}

1

^ 1  x ²
dx  _
1  x²
dx  _ (1  _{1  x 2} )dx 
x  arctgx  C

buni (*)ga qo’yamiz.

2


xarctgxdx  ^x
2

arctgx 

x _ 1

2 2

arctgx  C   ^x 

2

x ² 1

2

arctgx  C

RATSIONAL KASRLARNI INTEGRALLASH.

P_n ( x)

m
Ikkita ko’phadning nisbati ratsional kasr deyiladi. _{Q ( x)}
^. Bunda n<m bo’lsa

ratsional kasr to’g’ri ratsional kasr deyiladi, nm bo’lsa, ratsional kasr noto’g’ri ratsional kasr deyiladi. Bunday kasr suratini maxrajiga bo’lish bilan butun va kasr qismlarga ajratiladi. Bundagi kasr to’g’ri kasr bo’ladi. Agar ratsional kasrda maxraj ya’ni ^Q_m ^(x) =1 bo’lsa, kasr butun ratsional funksiyaga aylanadi. Buni integrallash yuqorida ko’rib o’tilgan.
Endi to’g’ri ratsional kasrni integrallashni ko’rib o’tamiz. Avval oddiy ratsional kasrlarni integrallashni ko’ramiz. Umumiy holda ratsional kasr oddiy kasrlarga ajratilib, so’ngra integrallanadi. Oddiy ratsional kasrlar (ba’zan elementar kasrlar deb ham yuritiladi) qo’yidagi ko’rinishda bo’ladi.

1. ^A 2.
x  a
A
(x  a)^k

bu yerda

k  2

butun musbat son.

^{Ax  B} p²

3. _{x 2}

• 
  px  q ^.
  

Ax  B
Maxrajni ildizi kompleks sonlardan iborat, ya’ni
₄  q  0

4. _{(x 2}

• 
  px  q) ^{k .}
  

k  2
bo’lgan butun musbat son.

(1)-(4) ko’rinishdagi kasrlar eng sodda ratsional kasrlardir.

Endi shu kasrlarni integrallashni ko’raylik.

1. 
   
   
   ^A dx 
   

x  a
A ln| x  a|C
(C  const)

2. ^A

dx  A
(x  a)^k d (x  a) 

^ (x  a)^k
(x  a)^{k1
 A}  k  1


• 
  C 
  

^A  C
(1  k)(x  a)^k1

Ax  B

3.

dx 
^A (2x  p)  (B 

2

Ap ₎

2

dx  <sup>A


</sup> =



2x  p


dx 

 _x 2

• 
  px  q ^
  

x ²  px  q
₂  _x 2

• 
  px  q
  

Ap dx

^ x ²

• 
  ^{px  q  t} dt ^
  

 (B 
₂ ⁾ _x 2

• 
  px  q
  

 _
(2x 
p)dx  dt
 ln|t|C_ t _

 ^A ln | x² 

2

px  q | (B 
Ap ₎ 2
^ (x 


p / 2)²
dx _
 (q  p ² / 4)

 ^A ln | x² 
2
px  q | 
2B  Ap

arctg

2x  p _{ C}

_4. Ax  B
dx 
A / 2(2x 
p)  B  Ap / 2)_{dx }

^ (x² 
px  q)^{k }
(x² 
px  q)^k

_ A 2x  p


dx  (B 
Ap₎


dx _.

2 ^ (x ²  px  q) ^k
2 ^ (x ²

• 
  px  q) ^k
  


dt
^{Bu integrallardan birinchisi x2+px+q=t almashtirish bilan} _t k
_t  k 1

ko’rinishdagi integralga

keladi. Bu esa, integrallar jadvalidagi formulaga ko’ra
1  k
ga teng bo’ladi.

Ikkinchi integralning maxrajidan to’liq kvadrat ajratsak, hamda x+p/2=t

dt

almashtirish bajarib va q-p²/4=m² deb belgilasak, u holda
^ (t ²

• 
  m² ) ^k
  

ko’rinishdagi

integralga kelamiz. Bu integralni maxrajining darajasini qo’yidagicha ketma-ket

dt

kamaytirish bilan
 _t 2

• 
  m²
  

ko’rinishdagi integralga keltiramiz. Bu esa, integrallar

jadvalidagi formulaga binoan ^{1 arctg t}

ga teng bo’ladi,

m m

ya’ni


dt
(t ²  m² ) ^k
t ²dt
1 (t ²  m² )  t ²


^ m² (t ²  m² ) ^k
t  tdt
dt  ¹
_m2
^ (t ²
1
dt _ 1
_{ m}2 ₎ k 1 _m2

1

_t 2


(t ²  m² ) ^{k dt}
(*)

ammo,
^ (t ²

• 
  m² ) ^k
  

^{ } (t ²
 m² )²
 
2(k
^{ 1)  td (}(t ²
_{ m}2 ₎ k 1 ⁾

Buni bo’laklab integrallash formulasidan foydalanib qo’yidagi kurinishga keltiramiz:

t ²dt
1 ^ 1
dt ^

^ (t ²

• 
  m² ) ^k
  

^{  2(k  1) t } (t ²
_{ m}2 ₎ k 1
^{ } (t ²
_{ m}2 ₎ k 1 ^




Buni (*) ga qo’yib qo’yidagini topamiz:
_ dt _ 1 _ dt _ 1 1 _[ t _{ } dt _{] }

(t ²  m² ) ^k
_m2 _(t 2 _{ m}2 ₎ k 1
m^{2 2(k  1)}
_(t 2 _{ m}2 ₎ k 1
_(t 2 _{ m}2 ₎ k 1

_ 1 _ 2k  3 _ dt

2m² (k  1)(t ²
_{ m}2 ₎ k 1
2m² (k  1) (t ²
_{ m}2 ₎ k 1

o’ng tomondagi integral maxrajining daraja ko’rsatkichi bittaga kamaydi.

dt

Shunday qilib,
^ (t ²

• 
  m² ) ^k
  

integral maxrajining ko’rsatgichini bittaga

kamaytirdik. Shu usul yordamida bu amalni takrorlash bilan berilgan integral


dt

t ²  m²
ko’rinishdagi integralga keltiriladi. To’rtinchi ko’rinishdagi ratsional kasrli

integral shu yo’l bilan hisoblanadi.
Кo’rib o’tilgan ratsional kasrlar eng sodda (elementar) ratsional kasrlar edi. Endi boshqa ko’rinishdagi ratsional kasr berilgan bo’lsa,uni avval eng sodda ratsional kasrlar

orqali ifodalab olib, keyin integrallash amali bajariladi. Shuning uchun ratsional kasrlarni elementar kasrlar orqali ifodalashni ko’ramiz. Qo’yidagi ko’rinishdagi to’g’ri kasrlarni har doim elementar kasrlar orqali ifodalash mumkin:
A Mx  N

(x  a)^{m ;} (x ²  px  q)^{n .}
(m, n lar musbat butun sonlar)

Bizga to’g’ri

P_n ( x)
_Qm _{( x)} ratsional kasr berilgan bo’lsin. Bu kasr qo’yidagicha elementar

kasrlarga ajratiladi:

1. 
   ^Q_m ^(x) maxraj ko’paytuvchilarga ajratiladi. Bunda chiziqli va kvadratik ko’paytuvchilar bo’lishi mumkin.
   

Q(x)=a_o(x-a₁)^m...(x-a_m-k)^k(x²+px+q)ⁿ...(x²+p_n-rx+q_n-r)^r.

2. 
   Berilgan kasrni elementar kasrlarga yoyilmasi qo’yidagi sxematik ko’rinishda bo’ladi:
   

P_n (x) _
A_{1 } A₂
 ...  ^Am
 ^B1  ^B2 


Q_m (x)
^{x  a} (x  a)²
(x  a)^{m
x  b} (x  b)²

B_{k }
M₁ x  N_{1 }
M ₂ x  N₂