Blek-sholec yoki Blek-Sholec-Merton modeli

Mundarija

• 
  1Asosiy farazlar
  
• 
  2018-04-02 121 2Notation
  
• 
  3Blek-Skoulz tenglamasi
  
• 
  4Qora-Skoulz formulasi
  
  • 
    4.1Shu bilan bir qatorda shakllantirish
    
  • 
    4.2Tafsir
    
    • 
      4.2.1Hosilliklar
      
• 
  5Yunonlar
  
• 
  6Modelning kengaytmalari
  
  • 
    6.1Doimiy rentabellik bo'yicha dividendlarni to'laydigan vositalar
    
  • 
    6.2Diskret proportsional dividendlarni to'laydigan vositalar
    
  • 
    6.3Amerika variantlari
    
    • 
      6.3.1Doimiy ravishda qo'yish
      
  • 
    6.4Ikkilik parametrlar
    
    • 
      6.4.1Naqd yoki hech qanday qo'ng'iroq
      
    • 
      6.4.2Naqd pul yoki hech narsa qo'yilmaydi
      
    • 
      6.4.3Aktiv yoki hech narsa qo'ng'iroq qilish
      
    • 
      6.4.4Aktiv yoki hech narsa yo'q
      
    • 
      6.4.5Chet el valyutasi
      
    • 
      6.4.6Nishab
      
    • 
      6.4.7Vanil variantlari bilan munosabat "yunonlar
      
• 
  7Amaliyotda Qora-Skoullar
  
  • 
    7.1O'zgaruvchanlik tabassum
    
  • 
    7.2Obligatsiya opsionlarini baholash
    
  • 
    7.3Foiz stavkasi egri chizig'i
    
  • 
    7.4Qisqa aktsiyalar stavkasi
    
• 
  8Tanqid va sharhlar
  
• 
  9Shuningdek qarang
  
• 
  10Izohlar
  
• 
  11Adabiyotlar
  
  • 
    11.1Birlamchi ma'lumotnomalar
    
  • 
    11.2Tarixiy va sotsiologik jihatlar
    
  • 
    11.3Qo'shimcha o'qish
    
• 
  12Tashqi havolalar
  
  • 
    12.1Modelni muhokama qilish
    
  • 
    12.2Natija va echim
    
  • 
    12.3Kompyuter dasturlari
    
  • 
    12.4Tarixiy
    

Asosiy gipotezalar 

Blek-Skoulz modeli bozor kamida bitta xavfli aktivni, odatda aktsiya deb nomlanadi va bitta pul xavfi, odatda pul bozori, naqd pul yoki majburiyat deb nomlanadi.

Endi biz aktivlar bo'yicha taxminlar qilamiz (ularning nomlarini tushuntirib beradigan):

• 
  (tavakkalsiz stavka) Xavfsiz aktivning rentabellik darajasi doimiy va shu bilan risksiz foiz stavkasi deb nomlanadi .
  
• 
  (tasodifiy yurish) zaxira narxining bir zumda jurnalga qaytarilishi - bu shoshilinch tasodifiy yurish ; aniqrog'i, aktsiya bahosi geometrik braun harakatidan kelib chiqadi va biz uning o'zgarishi va o'zgaruvchanligini doimiy deb hisoblaymiz (agar ular vaqt jihatidan o'zgarib turadigan bo'lsa, biz o'zgaruvchanlik bo'lmasa, mos ravishda o'zgartirilgan Black-Scholes formulasini chiqarib olamiz. tasodifiy).
  
• 
  Aksiya dividend to'lamaydi . ^[
  

Bozordagi taxminlar:

• 
  arbitraj imkoniyati yo'q (ya'ni, tavakkal qilmaydigan foyda olishning imkoni yo'q).
  
• 
  har qanday miqdordagi, hatto fraksiyonel naqd pulni ham xavf-xatarsiz stavka bo'yicha qarz berish va qarz berish qobiliyati.
  
• 
  aktsiyalarning istalgan miqdorini, hatto qismli qismini sotib olish va sotish qobiliyati (bunga qisqa sotish kiradi ).
  
• 
  Yuqoridagi bitimlar hech qanday to'lovlarni yoki xarajatlarni talab qilmaydi (ya'ni, ishqalanishsiz bozor ).
  

Ushbu taxminlarga ko'ra, ushbu bozorda lotin xavfsizligi ham mavjud deb taxmin qiling. Ushbu qimmatli qog'ozlar ushbu sanaga qadar aktsiyalar tomonidan olingan qiymatlarga qarab, kelajakda belgilangan sanada ma'lum bir to'lovga ega bo'lishini aniqlaymiz. Kelajakda aktsiyalar narxi qanday yo'lni bosib o'tishini bilmasak ham, hosilaning narxi hozirgi vaqtda to'liq aniqlanishi ajablanarli haqiqat. Evropa chaqiruvi yoki put opsiyasining maxsus ishi uchun Blek va Skoulz " qimmatli qog'ozlar tarkibidagi uzun pozitsiyadan va optsiondagi qisqa pozitsiyadan iborat to'siq pozitsiyasini yaratish mumkin" deb ko'rsatdi . aksiya narxi ".  Ularning dinamik himoyalash strategiyasi opsion narxini boshqaradigan qisman differentsial tenglamaga olib keldi. Uning echimi Blek-Skoulz formulasi bilan berilgan.

Modelning keyingi kengaytmalarida dastlabki modelning bir nechta taxminlari olib tashlandi. Zamonaviy versiyalar dinamik foiz stavkalarini (Merton, 1976), tranzaksiya xarajatlari va soliqlarni (Ingersoll, 1976), va dividendlarni to'lashni hisobga oladi.

Belgilanish 

Ushbu sahifada ishlatiladigan yozuv quyidagicha aniqlanadi:

{\ displaystyle S (t)}, t asosiy vaqtdagi asosiy aktivning narxi .;

{\ displaystyle V (S, t)}, asosiy aktiv S funktsiyasi sifatida optsion narxi, t vaqtga ;

{\ displaystyle C (S, t)}, Evropa qo'ng'iroq opsiyasi narxi va {\ displaystyle P (S, t)} Evropa put opsiyasi narxi;

{\ displaystyle K}, optsionning ish tashlash narxi , shuningdek mashqlar narxi sifatida tanilgan;

{\ displaystyle r}, yillik xatarsiz foiz stavkasi , doimiy ravishda qo'shilib boriladi Shuningdek , foizlar kuchi deb ham ataladi ;

{\ displaystyle \ mu}, Oqim darajasi bo'yicha{\ displaystyle S}, yillik;

{\ displaystyle \ sigma}, aksiya daromadlarining standart og'ishi; bu aktsiyalarning log narxlari jarayonining kvadratik o'zgaruvchanligining kvadrat ildizi ;

{\ displaystyle t}, yillardagi vaqt; biz odatda foydalanamiz: hozir{\ displaystyle = 0}, muddati tugaydi {\ displaystyle = T};

{\ displaystyle \ Pi}, portfelning qiymati .

Biz foydalanamiz {\ displaystyle N (x)}standart normal kümülatif taqsimlash funktsiyasini belgilash uchun ,

{\ displaystyle N (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {x} e ^ {- z ^ {2} / 2} \, dz.}

{\ displaystyle N '(x)}standart normal ehtimollik zichligi funktsiyasini bildiradi ,

{\ displaystyle N '(x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e ^ {- x ^ {2} / 2}.}

Blek-Skoulz tenglamasi 

Asosiy maqola: Blek-Skoulz tenglamasi

Bozor ma'lumotlari parametrlari bilan simulyatsiya qilingan geometrik Brownian harakatlari

Yuqorida aytib o'tilganidek, Blek-Skoulz tenglamasi bu qisman differentsial tenglama bo'lib , u vaqt ichida opsion narxini tavsiflaydi. Tenglama:

{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi V} {\ qismli t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ qismli ^ {2} V } {\ qisman S ^ {2}}} + rS {\ frac {\ qisman V} {\ qisman S}} - rV = 0}

Tenglama ortidagi asosiy moliyaviy tushuncha shundaki, asosiy vositani va bank hisobvarag'idagi aktivni (naqd pulni) to'g'ri yo'l bilan sotib olish va sotib olish orqali optsionni mukammal himoya qilish va natijada "xavfni yo'q qilish" mumkin.  Ushbu to'siq, o'z navbatida, Blek-Skoulz formulasi qaytargan variant uchun faqat bitta to'g'ri narx borligini anglatadi ( keyingi qismga qarang ).

Blek-Skoulz formulasi 

Evropa qo'ng'irog'i, aktivning har xil narxiga qarab Blek-Skoulz narxlash tenglamasidan foydalangan holda baholanadi {\ displaystyle S} va muddati tugashiga qadar {\ displaystyle T}. Ushbu aniq misolda ish tashlash narxi 1 ga o'rnatildi.

Qora-Skoulz formula narxini qayd Evropa vekselni va qo'ng'iroq variantlari . Ushbu narx yuqoridagi kabi Blek-Skoulz tenglamasiga mos keladi ; Bu formulani tegishli terminal va chegara shartlari uchun tenglamani echish yo'li bilan olish mumkinligi sababli keladi.

"Black-Scholes" parametrlari bo'yicha dividend to'lamaydigan asosiy aktsiya uchun qo'ng'iroq opsiyasining qiymati:

{\ displaystyle {\ begin {hizalangan} C (S_ {t}, t) & = N (d_ {1}) S_ {t} -N (d_ {2}) PV (K) \\ d_ {1} & = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {Tt}}}} \ chap [\ ln \ chap ({\ frac {S_ {t}} {K}} \ o'ng) + \ chap (r + {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}} \ right) (Tt) \ right] \\ d_ {2} & = d_ {1} - \ sigma {\ sqrt {Tt}} \\ PV (K) & = Ke ^ {- r (Tt)} \ end {hizalanmış}}}

Put-call paritetiga asoslangan tegishli put opsiyasining narxi :

{\ displaystyle {\ begin {aligned} P (S_ {t}, t) & = Ke ^ {- r (Tt)} - ​​S_ {t} + C (S_ {t}, t) \\ & = N ( -d_ {2}) PV (K) -N (-d_ {1}) S_ {t} \ end {hizalanmış}} \,}

Ikkalasi uchun ham yuqoridagi kabi :

• 
  {\ displaystyle N (\ cdot)}deb yig'indidan tarqatish vazifasi bo'yicha standart normal taqsimot
  
• 
  {\ displaystyle Tt} kamolotga etish vaqti (yillar bilan ifodalangan)
  
• 
  {\ displaystyle S_ {t}}bo'lgan spot narx bosh aktivning
  
• 
  {\ displaystyle K} ish tashlash narxi
  
• 
  {\ displaystyle r}bo'lgan xavf bepul darajasi (yillik darajasi, ifodalanadi doim aralash )
  
• 
  {\ displaystyle \ sigma}deb uchuvchanlik asosiy aktivning qaytib