Blek-sholec yoki Blek-Sholec-Merton modeli

Interpretatsiya 

Blek-Skoulz formulasini juda nozik tarzda talqin qilish mumkin, bunda asosiy noziklik bilan {\ displaystyle N (d _ {\ pm})} (va fortiori {\ displaystyle d _ {\ pm}}) shartlari, xususan {\ displaystyle d _ {+}}va nima uchun ikki xil atama mavjud.

Formulani avval qo'ng'iroq opsiyasini ikkita ikkilik opsiyalarning farqiga ajratish yo'li bilan izohlash mumkin : aktiv yoki yo'q qo'ng'iroqni minus naqd pul yoki yo'q chaqiruv (aktiv uzoq muddatli, qisqa muddatli naqd pul yoki hech narsa qo'ng'iroq qilmaydi). Chaqiriq optsiyasi amal qilish muddati tugagandan so'ng aktivga naqd pulni almashtiradi, aktiv esa "hech narsa" chaqiruvi faqatgina aktivni beradi (almashtirishda naqd pulsiz) va "naqd" yoki "hech narsa" chaqiruvi faqat naqd pulni beradi (evaziga aktiv yo'q). Blek-Skoulz formulasi ikki atamaning farqidir va bu ikki atama binar qo'ng'iroq opsiyalari qiymatlariga teng. Ushbu ikkilik variantlar vanilga qo'ng'iroq qilish variantlariga qaraganda ancha kam sotiladi, ammo ularni tahlil qilish osonroq.

Shunday qilib formula:

{\ displaystyle C = D \ chap [N (d _ {+}) FN (d _ {-}) K \ o'ng]}

quyidagicha ajralib chiqadi:

{\ displaystyle C = DN (d _ {+}) F-DN (d _ {-}) K,}

qayerda {\ displaystyle DN (d _ {+}) F} - aktiv yoki hech narsa bo'lmagan qo'ng'iroqning joriy qiymati va {\ displaystyle DN (d _ {-}) K}naqd yoki hech qanday qo'ng'iroqning hozirgi qiymati. D o'tish sanasi kelajakda bo'lib, uni olib tashlash o'zgartiradi, chunki omil, iskontolama uchun hozirgi qiymatini kelajak (tugaganidan da qiymati) qiymati. Shunday qilib{\ displaystyle N (d _ {+}) ~ F} "aktiv-yo'q" chaqiruvining kelajakdagi qiymati va {\ displaystyle N (d _ {-}) ~ K}naqd yoki hech qanday qo'ng'iroqning kelajakdagi qiymati. Xavfsiz neytral nuqtai nazardan, bu aktivning kutilgan qiymati va xatarga qarshi o'lchovdagi pul mablag'larining kutilgan qiymati.

Ushbu atamalarning sodda va to'g'ri emas talqini shu {\ displaystyle N (d _ {+}) F} variantning pulda tugash ehtimoli {\ displaystyle N (d _ {+})}Tugash da bosh bo'lib, marta qiymati F, vaqt{\ displaystyle N (d _ {-}) K} variantning pulda tugash ehtimoli {\ displaystyle N (d _ {-}),}muddati tugagandan keyin naqd pul qiymatidan kattaroq. Bu aniq noto'g'ri, chunki ikkala ikkitomonlama pulda tugaydi yoki ikkalasi ham pulda tugaydi (yoki naqd pul aktivga almashtiriladi yoki bunday emas), lekin ehtimolliklar{\ displaystyle N (d _ {+})} va {\ displaystyle N (d _ {-})}teng emas. Aslini olib qaraganda,{\ displaystyle d _ {\ pm}}pullik o'lchovlari sifatida talqin qilinishi mumkin (standart og'ishlarda) va{\ displaystyle N (d _ {\ pm})}ITM (oxirini qolgan ehtimolliklar sifatida foizi moneyness tegishli yilda) numeraire quyida muhokama kabi. Oddiy qilib aytganda, naqd pul opsionining talqini,{\ displaystyle N (d _ {-}) K}, to'g'ri, chunki naqd pul qiymati asosiy harakatga bog'liq emas va shuning uchun "ehtimollik vaqtlari qiymati" ning oddiy mahsuloti sifatida talqin qilinishi mumkin. {\ displaystyle N (d _ {+}) F}yanada murakkabroq, chunki pul bilan tugash ehtimoli va muddati tugagan aktiv qiymati mustaqil emas. Aniqroq aytganda, amal qilish muddati tugagan aktivning qiymati naqd puldagi o'zgaruvchan, ammo aktivning o'zi (aktivning belgilangan miqdori) nuqtai nazaridan o'zgarmasdir va shuning uchun agar raqamlar sonini o'zgartirsa, bu miqdorlar mustaqil bo'ladi. naqd pul o'rniga aktiv.

Agar oldinga F o'rniga S nuqta ishlatilsa , in{\ displaystyle d _ {\ pm}} o'rniga {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2}} muddat bor {\ displaystyle \ left (r \ pm {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ right) \ tau,}bu drift omili sifatida talqin qilinishi mumkin (tegishli raqamlar uchun xavf-xatar o'lchovida). $ D $ _- standartlashtirilgan pullikdan ko'ra pul uchun{\ displaystyle m = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \ ln \ chap ({\ frac {F} {K}} \ o'ng)} - boshqacha qilib aytganda, sababi {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2}}omil - log-normal taqsimotning o'rtacha va o'rtacha o'rtasidagi farqga bog'liq ; bu geometrik Braun harakati uchun qo'llaniladigan Itō lemmasidagi kabi omil . Bundan tashqari, sodda talqinning noto'g'riligini ko'rishning yana bir usuli shundaki, formulada N ( d ₊ ) ning o'rnini N ( d _- ) bilan almashtirish puldan tashqari qo'ng'iroqlar uchun salbiy qiymatni keltirib chiqaradi. 

Batafsil, shartlar {\ displaystyle N (d_ {1}), N (d_ {2})}bo'lgan in--pul oxirini qolgan variant ehtimolliklar teng ko'rsatkichli ostida dov , navbati bilan, ehtimol o'lchov (numeraire = aktsiyadorlik) va teng dov ehtimoli o'lchov (numeraire = xavf bepul aktivlar). Qimmatli qog'ozlar narxi uchun xavfning neytral ehtimoli zichligi{\ displaystyle S_ {T} \ in (0, \ infty)} bu

{\ displaystyle p (S, T) = {\ frac {N ^ {\ prime} [d_ {2} (S_ {T})]} {S_ {T} \ sigma {\ sqrt {T}}}}}

qayerda {\ displaystyle d_ {2} = d_ {2} (K)} yuqoridagi kabi belgilanadi.

Xususan, {\ displaystyle N (d_ {2})} aktivning siljishi xavf-xatarsiz stavka deb taxmin qilingan taqdirda, qo'ng'iroq amalga oshirilish ehtimoli. {\ displaystyle N (d_ {1})}Biroq, oddiy ehtimollik talqini uchun o'zini qarz bermaydi. {\ displaystyle SN (d_ {1})}to'g'ri tugashi bilan kutilmoqda aktivlar narxi xavf-xatarsiz foiz stavkasini, foydalanib, bugungi qiymati sifatida talqin etiladi , deb berilgan tugashi bilan aktiv narxi mashqlar narxi ustidadir.  Tegishli munozara va grafik tasvir uchun - optsionni real baholash uchun Datar-Mathews usuli ostida "Interpretation" bo'limiga qarang .

Ekvivalent martingale ehtimoli o'lchovi, shuningdek, xavf-neytral ehtimollik o'lchovi deb ataladi . Eslatma bu ikkala deb ehtimolliklar bilan ham chora nazariy jihatdan va na bu ostida-pul oxirini qolgan haqiqiy ehtimoli bo'lgan real ehtimoli o'lchov . Haqiqiy ("jismoniy") ehtimollik o'lchovi bo'yicha ehtimollikni hisoblash uchun qo'shimcha ma'lumotlar talab qilinadi - fizik o'lchovdagi drift muddati yoki unga teng ravishda tavakkalchilikning bozor narxi .