Bli differensi

Eslatma: Ushbu fokusdan keyin tenglama oʻzgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamaga kelishi lozim!

4. Hosil boʻlgan oʻzgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamani yechib, u(x) ni topamiz.
5. u(x) ni ifodasini 𝑦(𝑥) = 𝑓(𝑢(𝑥),𝑥) ga qoʻyib umumiy yechimni topamiz.

^Misol 1. 𝑦^′ + 2𝑥𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑒^−𝑥2

1. 𝑦^′ + 2𝑥𝑦 = 0 ⟹ ^𝑑𝑦 = −2𝑥𝑑𝑥 ⟹ 𝑙𝑛|𝑦| = −𝑥² + 𝑐 ⟹ 𝑦 = 𝐶 ∙ 𝑒^−𝑥2

2. 𝑦 = 𝐶 ∙ 𝑒^−𝑥2 ⟹ 𝐶 = 𝑢(𝑥) ⟹ 𝑦 = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑒^−𝑥2 3. (𝑢 ∙ 𝑒^−𝑥2)′ + 2𝑥 ∙ 𝑢 ∙ 𝑒^−𝑥2 = 𝑥 ∙ 𝑒^−𝑥2 ⟹
𝑢^′ ∙ 𝑒^−𝑥2 + 𝑢 ∙ (−2𝑥) ∙ 𝑒^−𝑥2 + 2𝑥 ∙ 𝑢 ∙ 𝑒^−𝑥2 = 𝑥 ∙ 𝑒^−𝑥2 ⟹ 𝑢^′ = 𝑥

1

1
4. 𝑢^′ = 𝑥 ⟹ 𝑢 = ₂ 𝑥² + 𝐶
5. 𝑦 = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑒^−𝑥2 ⟹ 𝑦 = (₂ 𝑥² + 𝐶) ∙ 𝑒^−𝑥2


𝑦
Misol 3. 𝑦^′ + _𝑥 − 2𝑒^𝑥2 = 0, 𝑦(1) = 𝑒


2𝑦

1
Misol 4. 𝑦^′ − _𝑥+1 = (𝑥 + 1)³, 𝑦(0) = ₂


1
Misol 5. 𝑦^′ + 𝑦 ∙ 𝑡𝑔𝑥 = _{𝑐𝑜𝑠𝑥} Bernulli usuli algoritmi quyidagicha:
1. 𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣 ⟹ bunda 𝑢,𝑣 − hozircha nomaʼlum funksiyalar, almashtirish bajaramiz.
2. 𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣 almashtirishni differensial tenglamaga qoʻyamiz ⟹
(𝑢 ∙ 𝑣)^′ + 𝑝(𝑥) ∙ 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑞(𝑥) ⟹ 𝑢^′𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣^′ + 𝑝(𝑥) ∙ 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑞(𝑥) 3. Ikkinchi va uchinchi qoʻshiluvchilardan qavsdan tashqariga chiqarsa
boʻladigan hamma narsa chiqariladi:
𝑢^′𝑣 + 𝑢(𝑣^′ + 𝑝(𝑥)𝑣) = 𝑞(𝑥) 4. Tenglamalar sistemasiga kelamiz:

{
𝑣^′ + 𝑝(𝑥)𝑣 = 0 𝑢^′𝑣 = 𝑞(𝑥)
5. Birinchi tenglamadan v ni topamiz, faqat bu bosqichda C qatnashmaydi. 6. v ni ifodasini 2-tenglamaga qoʻyib u ni topamiz, C qatnashadi.
7. 𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣 – ga u va v – lar ifodalarini qoʻyamiz.