Боби I. Назарияи поценциалхо ва хусиятхои асосии онхо 1§. Хусусиятҳои потенсиалҳо §

МУНДАРИҶА

Муқаддима…………………………………………………………………………………………………………….3
БОБИ I. НАЗАРИЯИ ПОЦЕНЦИАЛХО ВА ХУСИЯТХОИ АСОСИИ ОНХО
1.1§. Хусусиятҳои потенсиалҳо…………………………..…………………..…………………………….5
1.2 §. Хусусиятҳои потенсиали майдон…………………………………………………….………..…7
1.3§. Хусусиятҳои потенсиали қабати дукарата………………………………………..………….8
1.4§. Хусусиятҳои потенсиали қабати муқаррарӣ…………………………………………..……9
БОБИ II. БАЪЗЕ ХУСУСИЯТХОИ ТАКСИМ
2.1§. Дар бораи масъалаи тақсимоти оммавӣ дар минтақаҳои ҳамвор……………11
2.2§.Тақсимоти худсарона ба доира…………………………………………………………………….16
БОБИ III. ДАР БОРАИ ЯГОНАГИИ ҲАЛЛИ МАСЪАЛАҲОИ БЕКС ДАР МАЙДОНИ СИТОРАИ ХАТИИ каҷ
3.1§. Дар бораи ягонагии ҳалли баръакс. мушкилот дар майдонҳои ситораҳои
каҷ………………………………………………………………………………………………………………………...20
3.2§. Наздик кардани потенсиали қабати муқаррарӣ бо потенсиали ҳаҷм……….22
3.3§. Дар бораи ҳосилаҳои инъикоси конформии сфераҳои кунҷӣ……………………23
3.4§. Баъзе арзёбиҳои ёрирасон..............................................................................28
3.5§.Натиҷаҳои муҳим барои исбот аз теоремаи асосӣ………………………………………31
ХУЛОСА…………………………………………………………………………………………………….…………39
Руйхати адабиётҳо........................................................………………………….………..40

Муқаддима.

Бигзор майдони _{   } дар доира нигоҳ дошта шавад. Бо ёрии _{ }
Потенсиали логарифмикии майдонеро муайян кунем, ки дар он зичии майдони T ба як баробар аст.( камони доираи воҳид) бошад.. Бо масъалаи баръакси потенсиали логарифмӣ мо дар назар дорем, ки майдони T мувофиқи шартҳои Коши дар камони u x T ( , ( потенсиал () .Ин масъала яке аз масъалахои асосии гравиметрия дар дарёфти конхои канданихои фоиданок ба шумор рафта, яке аз масъалахои дурусти шартии физикаи математики ба хисоб меравад.Халли ин масъала усулхои самарабахшро солхои 60-ум А.Н.Тихонов, Б.К.Иванов ва М.М.Лавринтев ба вучуд оварда буданд. .Масъалаи исботи бехамто ва устувории халли асоси исботи дурустии шарти дар мачмуа 𝑀 аст.Дар ин маврид мачмуи 𝑀ро синфи дурусти меноманд.А.Н.Тихонов [19 ], устувории хал аз он бармеояд. ягонагии ҳалли он вақте ки синфи дурустӣ паймон аст. Бехамто будани халли масъалаи баррасишавандаро П.С.Новиков барои курахои ситорахо исбот кардааст [11]. Л.Н.Сретенский теоремаи ягонагии сфераҳоро бо ҳамвории миёна исбот кард. В.К.Ибанов исбот кард, ки ҳалли масъала дар сурати наздик будани он ба саҳро вуҷуд дорад. Нотакрор будани маҳлул ҳангоми тағйирёбандаи зичии майдон аз ҷониби Ю.А.Шанкин исбот шудааст[26]. Ҳолати бисёрҷанбаи масъаларо А.И.Приленко бо омӯзиши теоремаҳои ягонагии сфераҳои ситораҳо ва сфераҳои тамос исбот кардааст[13,14]. Мисолхое, ки мавчуд набудани халли масъаларо нишон медиханд, дар [6] ~ 4 ~ оварда шудаанд.М.М.Лаврентев теоремаи устувории халли масъаларо барои курахои ситорахо исбот кардааст. Масъалаи баръакси назарияи потенсиалҳоро В.М.Исанов барои теоремаи Ҳелмголтс омӯхтааст. Дар ин кор масъалаи баръакси потенсиали логарифмикӣ омӯхта шуда, ягонагии ҳалли масъала барои доираҳои зичии воҳид ва ситораҳо нисбат ба баъзе координатаҳои каҷӣ исбот карда шудааст.Он аз се қисм иборат аст.1.1 фасли якум. Дар банди 1.5 хосиятҳои потенсиали майдонӣ, қабати оддӣ, потенсиалҳои дуқабата омӯхта шуда, бо ёрии онҳо масъалаҳои ба муодилаи интегралии Фредголм овардани масъалаҳои Дирихле ва Нейман ва масъалаҳои ҳисобкунии потенсиалҳо баррасӣ шуданд. Дар бандҳои 2.1-2.2 қисми дуюм хосиятҳои тақсимоти оммавии потенсиалҳои логарифмикӣ омӯхта шудаанд. Дар тақсимоти масса барои потенсиали логарифмикии майдони ҳамвори D бо зичии масса (0) дар D (0 gi G T (()) чунин зичӣ мавҷуд аст, ки ( масса ((( ( T T D , , ), пас исбот карда мешавад, ки ( инчунин аз вазифаи мусбат иборат аст.Дар §2.2 масъалаи таќсимот барои доирањои ихтиёрї омўхта шуда, дар натиљаи инъикоси конформї масъалаи таќсимот дар доираи воњид оварда шудааст.Дар §2.3 арзиши меъёри тақсимот дар (0, ) C Дар боби сеюм як теоремаи муҳими ёрирасон исбот карда шуда, натиҷаи асосии рисола исбот шудааст.Дар §3.1 баъзе қайдҳо оварда шудаанд ва теоремаи асосӣ дар §3.2 ҳисобҳои наздикшавии потенсиал бо потенсиали қабати оддӣ оварда шудааст.Дар §3.3 инъикоси конформалӣ барои сфераҳои порчаи ҳамвор омӯхта ва нобаробарӣ, ки модули инъикоси конформалиро бо меъёри сарҳади майдон (1, ) С () мепайвандад, оварда шудааст. Дар §2.4 нобаробарии ёрирасон мукаррар карда шуда, бо ёрии онхо натичаи §3.5 исбот карда мешавад. Дар §3.5 М.М. Бо истифода аз усули Лаврентив усули мухимми таксим ~ 5 ~ теоремаи ёрирасони таксимот исбот шудааст. Назарияи потенсиалхо 1§. Хусусиятҳои потенсиалҳо Д E ( n имкон медиҳанд, ки зарядҳои электрикӣ дар майдони маҳдуди зичӣ ( ( y( , 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , , ) n D u x y x y dx x x x x ( (( Мо) тақсим карда шаванд. функсияи E (1.1) потенсиали ҳаҷм ё потенсиали сеченака номида мешавад, агар D E ( 3 Агар D E ( 2 ) бошад, мо (1) потенсиали логарифмии майдонро меномем. , пас ( ) ( ) ( , ) n y u x y x y d ( ( ( ( E (1.2) ба интеграл Вақте ки n ( 3 аст, мо онро потенсиали қабати муқаррарӣ мегӯем ва вақте ки n ( 2 аст, мо онро логарифмикӣ) мегӯем. потенсиали қабати оддӣ.( (Мо самти муқаррариро интихоб мекунем ( E n), ки дар рӯи сатҳ самти мусбат дорад. y () нуқтаҳои 1 y ва 2 y бигзор самт аз 1 y то 2 y ​​бо самт якхела бошад. ( ) ( , ) n n u x x y x y ( ( ( ( E E пайдо мешавад). Агар 1 y ва 2 y ба 𝑦 ~ 6 ~ ва 2 1 0 майл дошта бошанд (( y y y ( ( ) доимӣ боқӣ монад), он гоҳ мо тақсимоти маҳдуди зарядҳоро диполӣ меномем ва ( самти меҳвари дипол. x -ро диполя меномем. потенсиал дар нуқта бо лимити 2 1 2 1 2 1 2 1 0 0 0 2 1 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) lim ( ( , ) ( , ) ( ) lim ( ) ( ) y y y y ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( E E E E E E) Дар ин x x x x ( ( ( 1, 2, 3) иборат аз нуқтаҳои параметрӣ ( , ) ( ) ( ) y n y x y u x y d ( ( ( ( ( ( ( E) (1.3) Потенсиалро дар шакли (3) потенсиали қабати дукарата бо n (3), потенсиали логарифмикии қабати дукаратаро ҳангоми n ( 2. 3 2 2 ( , ) 1 1 cos( , ) ( , ) 1 1 меномем. ln cos( , ) y xy xy xy xy xy xy xy xy xy xy xy xy xy xy 4)).Дар E3 ( сатњи 2 (хат ) дар Е) сатњи Ляпунов (хат) номида мешавад, агар дар њар як y 1 0 (( нуќта ( y нормалї вуљуд дорад, 2 0 ) тавре вуљуд дошта бошад, ки ( ( 0 ) барои ҳар як 𝑥 нуқтаи x y ( ( ( кура ( сатҳро ба ду қисм тақсим мекунад: ' | | y x ( ( ( ( дар ( ) ҷойгир аст), ки берун аз (( кура) ҷойгир аст ва хати рости параллел ба ( ) ' ( ) дар нуқтаи дигар бурида мешавад. 3 0 1 C ( ( ( ( 0, 0 1 ( ) ) доимӣ ҳастанд ~ 7 ~ 1 2 1 2 1 2 1 , y y C y y y y ( ( ( ( ( ( ( хоҳад буд Мо потенсиали дар ( 2)) потенсиали логарифмикии майдонро меномем. Ин потенсиалхо чунинанд: ( ) ( ) ( , ) ( 2,3) n D u x y x dy n ( ( ( E (2.1) 1 ln, 2 | | ( , ) 1 , 3 | | n n y x x y n y x Теоремаи 2.1.Агар (( ) y D ( дар домени махдуд ва интегралшаванда бошад, пас u x( ( функсия дар E n пайваста аст. Теоремаи 2.2. Агар функсияи (( ) y дар майдони D () махдуд шуда бошад, яъне ( ( ) y A ( ), пас (2.1) дар потенсиал E n ҳосилаи якумдараҷа дорад ва ин ҳосила дар зери теоремаи интегралии 2.3 Агар функсияи (( ) y пайваста ва дар майдони D () маҳдуд бошад. пас (2.1) дар атрофи нуқтаи беохир дар потенсиали E3 мунтазам аст. Теоремаи 2.4. Агар функсияи (( ) y муттасил ва дар домени D ( ) мањдуд бошад, пас потенсиали 𝑛-ченака дар D (. Теоремаи 2.5) гармоникї аст. Агар функсияи (( ) y дар домени D ҳосилаи пайваста ва мањдудшуда дошта бошад. ( , он гоҳ потенсиали андозагирии 𝑛 − D ( дар домени пайваста ҳосилаи дуюмдараҷа дорад. Натиҷа. Агар 1 (( ) ( ) y C D( () маҳдуд бошад, пас (2.1) потенсиали ~ 8 ~ муодилаи Пуассонро қонеъ мекунад. : функсия ҳалли мушаххаси муодилаи Пуассон аст.Агар 0 u x u x v x ( ) ( ) ( ) ( ) -ро дар муодилаи (2.2) иваз кунем, v x( ( ( v x( ) 0 ) ҳалли муодилаи Лаплас мебошад. 3§ Хусусиятҳои дастии потенсиали қабат Потенсиали қабати дукарата E n in 1 ( , ) cos ( ) ( ) ( ) y xy y n n x y u x y d y d ( ( ( ( ( ( ( ( E (3.1))) сатҳ ва (( ) y интегралӣ ва маҳдуд аст, пас (3.1) дар фазои пореникии дуқабата муайян карда мешавад. Теоремаи 3.2. Агар потенсиали қабати дукарата ((1) ва ( сатхи Ляпунов бошад, пас потенсиали қабати дукарата қисман доимист. Яъне 1 cos 1 ( ) 2 , , 0, x n y n y n u x d x y x x D x D ( ( ( ( ( ()). (((((( (Мо арзиши дурусти потенсиали қабати E-ро мегӯем). 0 0 0 ( , ) ( ) lim ( ) y x x D n x x y u x y d ( (( ) lim ( ) y x x D n x x y u x y d ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ()) Онро ҳамчун Е ишора мекунем). Теоремаи 3.3. Агар ( сати Ляпунов бошад, (( ) дар y ( ) пайваста аст), пас потенсиали қабати дукарата 0 u x( ) ( 0 u x( ) ( маҳдудият дорад ва ин маҳдудиятҳо ҳамчун 0 0 1 0 ( ) ( ) ) ( 2 n u x u x ( ( x ( ( , 0 0 0 ) 1 ( ) ( ) 2 муайян карда мешаванд. u x u x ( x ( ( Мо мебинем, ки потенсиали қабати дукарата аз D ( ) ба D ҷаҳиш мекунад, ин ҷаҳиш бо 0 0 0 ( ) ( ) ( ) n u x u x ( ( x ( ( ( , 3 2 ( ( ()) (4, 2 § 4. Хосиятҳои потенсиали қабати оддӣ Агар ( сатҳи пӯшида бошад, (( ) y зичии, ( ) ( ) ( , ) n u x y x y dy ( (((( E (4.1)) мо потенсиали қабати оддиро номидем. ( , ) n E x y (Теоремаи Лаплас 4.1 Агар ( сатњи Ляпунов бошад ва (( ) дар y () интегралшаванда будан мањдуд шуда бошад, пас потенсиали ќабати оддии E n дар муайян карда мешавад ва аз функсияи муттасил иборат аст. n ( дар 3 мунтазам аст. дар атрофи нуктаи беохир, n ( дорои ягонагии логарифмикӣ дар атрофи нуқтаи беохир дар 2. Теоремаи 4.2. Агар ( сати Ляпунов бошад ва (( ) дар y () интегралшаванда бошад, он гоҳ функсияи (4.1) дар гармоникӣ аст. D D ( ( функсия мешавад. Теоремаи 4.3. Агар ( сатхи Ляпунов бошад ва (( ) дар y () пайваста бошад), пас потенсиали қабати оддӣ ҳосилаи дурусти нормалӣ дорад, ~ 10 ~\u xy d x N xy ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( БОБИ II. БАЪЗЕ ХУСИЯТХОИ ТАКСИМ § 2.1) Дар масъалаи таксимоти масса дар сферахои хамвор. T кура бо порча хамвор (сархад дар хамвор, D T кураи кушода мансуб ба кура бошад.) Бигзор T бо конуси холӣ бо ҳар як нуқтаи сарҳадӣ иҳота карда шавад. Агар 𝜈 ченак бо оператори паймон бошад, он гоҳ 1 ( , ) ln ( ) 2 u x x y d y ( ( ( ( ( мо функсияи потенсиали логарифмии ченакро 1 ( , , ) ( )ln ( ) меномем. 2 V x y x y d y ( ) ( ( ( ( ( ( ( ( (0 ( ) ) ln 2 D u x D y x y dy) ( ( ( ( ) функсияест, ки дар майдони пайваста аст (0 ( y( D x x T ( , , )) , , ), \ ( ( ( ( (2.1) ~ 12 ~ мо баъзе хосиятҳои тақсимотро пешниҳод мекунем, вақте ки T y ( ( ( 1) Лемма 2.1 Агар пайвасти майдони маҳдуди T пайваст карда шуда бошад T ( ва сарҳади он ( қисм-қисм аст). ҳамвор ва оператор ( ченак аст, пас T зермаҷмӯи кушода аст, пас 0 u x v u x D x T ( , ) ( , , ), \ ( ( (2.2) баробарӣ 0 ( ) ( ) ( ) ( ) D h y dv y h y dy ( ( ( ( ( (2.3)) қавӣ мегардад, ба ки дар он h y( ( функсияест, ки дар T ихтиёри гармония ва дар T () давомдор аст. Исбот: исбот мекунем, ки (2.3) аз (2.2) бармеояд. Бигзор hT ( дар атрофи W, ки мухити кушоди hT () аст, гармоник бошад. ).Функсияи дифференсиалии беохир f, ки f (1 : T W W W ((( 1 1 ) дар атрофи W1 кушодаи T ( ) ва f ( 0 : W W W W 1 2 2 ((( 1 1 1 1 \ 0 \ \)) ( , ) ( ( ) () u x D f x h x dx (( dv y dx y x y f x h x dy ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( () Агар мо тартиби x ва y-ро дар интегралҳои охирин) тағир диҳем) (теоремаи Фубини) 0 ( ) ln ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ln ( ( ) ( ))) W D W dv y x y f x h x dv y y f y h dy x y f x h x dx ( ( ( ( ( ( ( ( ( (2.4)) ~ 13 ~ Холо аз рун таърифи хал))))) ( ( ( ( t W ( ( ( ба ) баробар аст), бинобар ин аз (2.4) ба 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D f y h y dv y y f y h dy ( ( ( ( ( ( ( (2,5)) (2,5)) дар T D ( ( ( дар G Азбаски f (1) аз (2.5) муодилаи 0 ( ) ( ) ( ) ( ) D h y dv y y h y dy ( ( ( ( ( ( (2.6)))) Агар h T ( ( ) дар T гармоник бошад, пас мувофиқи [8] пайдарпаии гармоникии hn вуҷуд дорад, ки онҳо дар атрофи T гармониканд, ки C T ( ( ( ( ( ( ( дар h y) ( ( (2.6)) ба лимити ( ) h h ( n ва мо (2.3)-ро ташкил мекунем. Акнун (2.3) ба (2.2) оварда мерасонад. Леммаи 2.1 исбот шудааст. Натича: дар шарти (2.1) 𝜇 − функсияи чамъшаванда дар G аст, пас он ба он баробар аст муносибати ортогоналӣ дар (2.1) 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ва барои функсияҳои муттасил дар 𝑇̅ Исботи натиҷа барои исботи андоза ва зичии 𝜇(𝑦) кофӣ аст.Бигзор 𝑇 аз воҳид иборат бошад. Доир, I.E. 𝑇 = {{}} imorem 2.1 Барои худсарона зичии μ (0) (г) (λ, 𝐷, μ0) вуҷуд дорад дар G. ~ 14 ~ Исбот: (2.1) интеграли зерин нисбат ба 𝜇(𝑥) ( x y x y d y f x x ( ( ( ( ln , ( ( ( ( ( ( ( (2.7))) ((2,7) , , ( 0 ( x ( ( ( (ки интеграл берун аз 𝑇 аст)) x n x (( ( ( дар нуқта 𝑥) аз (2.1)) аз (2.7) бармеояд). Дарвоқеъ, аз (2.1) 𝜇 ∈ 𝐶 ( 0,𝜆) (G) бо фарќ кардан аз шарти ( ( ( 2 0 u x D V x x R T , , , , \ x x ( ( ( ( ( ( ( ( (2.8))) ) 𝑓(𝑥)) мегирем). Дар ин дар сурати ба хадд гузаштан мумкин аст, зеро x D ( , ,(0 ( функсияи аналитики дар атрофи G мебошад. Бо чахидан ба хосилаи нормалии потенсиал дар тарафи рост, мо тарафи чапи (2.7)-ро мегирем. Акнун ҳосили (2.1)-ро аз (2.7) нишон медиҳем.Дарвоқеъ, ҳосилаҳои дурусти муқаррарии функсияҳои 𝑉 ва 𝑢 V ва u n n ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( () агар мо бо ишора кунем)) (𝑢 𝑣𝑎 𝑉) мо аз (2.7) мефаҳмем, ки D x V x x ( , ( ) , ( ) 0 ( ( ( n n) ( ( ( ( ) |𝑥| > 1 , 𝑦 ∈ 𝑇 ∪ G аз ln ln ln 1 y x y x x ( ( ( ), ҳамин тавр 0 1 1 1 u x D M x O ( , , ) ln ( ) x ( ( ( (2.10) дар куҷо ~1) ~ 1 0 1 0 1 ( ) , ( ) ( )ln(1 ) | | D D y M y dy O y dy x x ( ( ( ( ( ( 1 0 ( ( 1 1 ( ) , | | O C x x ( агар x ( дар 1 ) Ҳамин тавр 2 2 1 ( , , ) ln | | ( ) | V x M x O x ( ( ( ( (2.11) (2.10) ва (2.11) 0 1 ( ) ( , ) ( , , ) ln ( ) x u x D V x M x O x ( ( ( ( ( ( ( () 2.12) ки 1 2 1 2 М М М О О ( ( ( , Акнун нишон медиҳем, ки 𝑀 = 0. Бигзор 𝑀 > 0. Пас, дар асоси (2.12)) lim x ( (( ( Бинобар ин, функсия (( ) x ба максимумаш мерасад.) дар баъзе 𝑥0 ∈ 𝑅 2 \𝑇 дар 𝑅 2 \𝑇. Мувофиқи принсипи максималии функсияҳои гармоникӣ 𝑥0 ∈ Г. Мувофиқи Принсипи Зарима-Ҷаро [саҳифаи 2.31] 0 0 ( ) 0, ( ( x n () ( ( ( ( ( ( ( ( Ин муқобили (2.9) аст). Аз ин рӯ, (2.1) ва (2.7) баробаранд). (2.7) муодилаи интегралӣ 0,0) C C ( ) ( ) ( ( дорои ҳалли мувофиқи баҳодиҳии интегралҳо [саҳифаи 7.330] функсияи 𝑓 ба синфи Голдер тааллуқ дорад. G = {|𝑦| = 1}, муодилаи (2.7) шакли содда дорад [сах. 3,461]. 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f x ( ( x y dà y ( ( ( ( ( (аз ин аз ин дида мешавад), ки (0, ) ( ) ( ( ( ( 𝑦)) < 0 дар атрофи нуктаи 𝑦0 ~ 16 ~. Пас аз принсипи давомнокӣ, 𝜇(𝑦) > 0 дар 𝑙 ∈ G. Биёед ҳалли масъалаи зерини Дирихлеро бо ℎ ишора кунем: 0 0, {| | 1} , {| | 1} h y h h y ( ( ( () Дар ин ҷоℎ0 функсияи муттасил аст, ℎ0 (𝑦0 ) > 0, ℎ0 ≥ 0 дар G ва ℎ0 = 0 дар G\𝑙. Мувофиқи Lemma 2.1, принсипи ортогоналӣ дуруст аст 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) à D ( ( y d h y dà y h ( y d h y dà y h ( y y y) ( ((2.13) Мувофиқи интихоби шарти сарҳадӣ ℎ0), интеграли чап дар (2.13) аз сифр камтар аст). Аз тарафи дигар, ℎ ≥ 0 ва 𝜇0 > 0. Аз ин рӯ, мувофиқи принсипи максималии функсияҳои гармоникӣ тарафи рости (2.13) мусбат аст.Ин зиддияти пайдошуда нишон медиҳад, ки 𝜇 манфӣ нест.§ 2.2 Доираи тақсимоти ихтиёрӣ тақсимоти потенсиали 𝑢-ро дида мебароем. (𝐷, 𝜇0) ба G ∈ 𝐶 (1,𝜆) вақте ки T майдони ягонаи пайвастшуда аст, 𝐷 ∈ 𝑇. Бигзор 𝑊(𝑧) кураро 𝑇 ба доираи воҳид инъикос кунад. * * * 0 ( ( u D( , ) аст * * * 2 0 0 ( ), ( ) ( ) | | ( ) dz D W D W W W dW ( ( ( ( ( ( ( ( ( Тақсимоти оммавии 𝑢(𝐷,),) 𝜇0) ба Г. Лемма 2.2 Баробарии зерин * 1 ( ) ( ( )) ( ( )) z W z dz W z dW ( ( ( ( (2.14) дар он ҷо dz dW мо ҳосилаи |𝑊| < 1) -ро дарк мекунем. Исбот.Баробарии потенсиалњо дар зери таќсимоти потенсиал 𝑢(𝐷, 𝜇) дар сарњади 𝑇 бо зичии 𝜇 бар G эътибор доранд ~ 17 ~ ( ( 2 0 u x D V x x R T ; , ( ; , ) \ ( ( ( ( ( (2.15) Мувофиқи Лемма 2.1), муносибати ортогоналӣ дар баробари баробарӣ (2.15) оқилона аст 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D ( ( y h y dà y y h y dy ( ( ( (2.16) Дар ин ҷо) ℎ(𝑦) функсияи гармонияи ихтиёрист, агар 𝑦 ∈ 𝑇 ва 𝑇̅ функсияи муттасил бошад.Дар муодилаи (2.16) мо инъикоси конформалиро (𝑦 = 𝑧 → 𝑤), ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( * 0 W 1 D dz dz z w h z w d w z w h z w dw dw dw dw ((( ( ( ( ( * * * * 0 W 1 D dz z w h z w d w w h w dw dw) ( ( ( ( ( (2.17)) барои ихтиёрӣ () (((* h w h z w ( Маҷмӯи чунин функсияҳо {|𝑤| аст ≤ 1} пайваста ва {|𝑤| < 1} аз функсияҳои гармоникӣ иборат аст. ℎ ∗ (𝑤) дар (2.17) аз тақсимоти {|𝑤| = 1} аз ( ( ( * * ( , ) dz z w u D dw ( ). Дар таърифи 𝜇 ​​∗ (𝑤)) 𝑤 → Дар 𝑧, мо Лемма 2.2-ро исбот мекунем.Аз Лемма 2.2 масъалаи трансдуксия ба доира меояд.Акнун мо нормаи тақсимотро 𝐶 (0,𝜆) арзёбӣ мекунем).Хосияти дифференсиалшаванда бошад.(𝜉,𝜂) − аз қутбӣ иборат аст. координатҳо. Аз арзёбии инъикоси конформалӣ тавассути муодилаи сарҳадии майдон, арзёбӣ мувофиқи [саҳифаи 18.127-129] мувофиқ аст ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 1, 1, 1, w z T z w w C)) | | 1) ( 0, 2 ) ( ( ( ( ( ( ( (2.18)) ки 𝜂 = 𝜑(𝑧))) муодилаи T. Lemma2.3 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ()))) (((((((((((( ((((((((((((( ​∗ дар Теоремаи 2.1 ба қадри кофӣ қавӣ буд (( ( ( ( * * ln x x xy xy d y f x n) ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( * * 1 1 ( ) ( ) 2 y ( ( x y d y f x ( ( ( ( ( ( (2.19)))) шакли мегирад) Дар ин * * * 0 1 f x u x D x x y ( ) lim ( ; , ), {| | 1} n ( ( ( ( ( ( ( ( ( (2.18)) ва аз рӯи хосиятҳои операторҳои зери потенсиал)) ( ( ( ( (1, ) 1, * * * 1/ 0 ( , )) ), , 0, ( ) q u D B C q mesD ( ( ( ( ( ( (2.20)) ки 𝐵 = {|𝑦| < 1} (2.20)), мо зеринро мегирем ( ( ( ( ( ( ( 0, 0, 1))) * * * * 0 ( , q f u D C mesD n ( ( ( ( ( ( (2.21) (2.19)) муодила дар 𝐶 (0,0) (G) ҳалли дорад. Аз ин рӯ, оператори (2.19) оператори баръакси маҳдудшуда дорад 𝐶 (0,0) (G) Бинобар ин (0,0) (0,0) (0, ) * * * * * * ( ) ( ) ( ) à C f à C f à ( ( ( ( (2.19) аз) муодилаи (0, ) ... ( меъёр зиёд нест (0, ) * * C f Ã( ) (. Бинобарин (0, ) (0, ) * * * * ( ) ( ) à C f à ( ( ( ((2.22) Аз (2.21) ва (2.22) Лемма 2.3.~ 19 ~ Limma 2.4 0 u D( , ) ( 𝜇 таксимоти потенсиал нобаробарии зеринро конеъ мекунад (0, ) 1/ ( ) ( ) , q à C mesD ( ( ( дар ин чо ( ( ( ( 1, C C q T) , [0 , 2 ], ( (( ( ( (( ( муодилаи mes y dy C dy C mesD dz) 0, ) * 1/ ( ) ( ) q à C mesD ( ( ( ( (2.23) Бо истифода аз (2.23) , (2.13) ва (2.18) мо суперпозицияи 𝜇 ∗ (𝑤(𝑧))-ро аз Лемма 2.3 пайдо мекунем. .(0, ) (0, ) 1/ ( ) ( ) q à C mesD ( ( ( ( Аз ин тасдиқи Lemma 2.4 меояд. Lemma 2.5 Агар масофаи байни маҷмӯи 𝐷 ва G аз 𝜀 хурд набошад, ба истиснои шартҳои Lemma 2.4, пас (0, ) C mesD ( ) ( ( ( дар он ҷо (1, ( C C( , )) ( ( ( ( Исбот якхела бо Lemma 2.3, Lemma 2.4), ба истиснои (2.20) бо иловаи иловагӣ шароит) * * * 0 u D B CmesD ( , )( ) ( (), ки (1, ( ) 1, C C q T ( , [0, 2 ], ( ( ( ( ( ( ( ( ()) аз Исбот * мо mesD mesw D ( ( ) аз рӯи (2.18) ( ( ( 2 1, 1, ( ) ( ) ( ) . D D dw mes y dy C dy C mesD dz ( ( ( ( ( ( ( Бинобар ин (0)) , ) (0, ) * 1/ ( ) ( ) q à C mesD ( ( ( ( ( (2.23) (2.23) , (2.13) ва (2.18)) барои )) мебинем, ки суперпозиция аз Лемма 2.3. Агар масофаи байни маҷмӯи 𝐷 ва G аз 𝜀 хурдтар набошад, он гоҳ (0, ) C mesD ( ) ( ( ( дар ин ҷо (1, ( C C( , ) ( ( ()) Исбот ҳамон тавре ки Lemma 2.3, Lemma 2.4, танҳо дар ин (2.20) дар шароити иловагӣ * * * 0 u D B CmesD ( , )( ) ( ( ), ки дар он (1, ( C C( , ) ( ( ( ( ~ 20 ~ БОБИ III) ҲАЛ. АЗ МАСЪАЛАИ БЕКС ДАР БОРАИ СИНГУЛЯРИЯТ ДАР МАЙДОИ СИТОРАИ КАНЧ § 3.1 Дар бораи ягонагии ҳалли масъалаи баръакс дар майдонҳои ситораи каҷ Мафҳумҳо ва таърифҳои асосӣ Синфи кураҳои m (1, ) T x y C {( , ) -ро муаррифӣ мекунем: ( )}, [0, 2 ] , 0 ( ( ( ( ( ( ( ( () Теорема(асос)) Агар зичии массаи T( T m ( ( ва T T, ( ) ба 1 баробар бошад ва потенсиали логарифмї) баробар аст, пас T T (( ( мешавад. Аввалан, мо баъзе таърифҳоро пешниҳод мекунем. Мо ядрои миёнаро ба таври зерин ворид мекунем: (0, ( C [0, 2 ] (0 1) ( ( ( ( ( ( 0, 2 ] ( ( n C ( ( , C[0, 2 ] ( дар меъёри фазои ва ( ( n ( , агар h (0. ~ 21 ~ ((( ( ; , ( ба воситаи ( ( ; , ) (( мо J0 ( ( { : } () муайян мекунем ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Агар 𝜀 > 0), мо бо 4 J ()) иттиҳоди J ва J ( )) бо дарозии 4𝜀 > 0. 4 4 0 0 0 4 J J J ва J ( ( ( бо 4 0 J (мо пурракунандаи [0.2𝜋]-ро ишора мекунем). , ( ) ( ) 0 , ( ) R агар R f агар R ( ( ( ( ( ( ( ( , 2 ] ( (( ( ( ( ( ( ( ( ва 1 2 2 1 2 [ , ] ... [ , ] n n J ( ( ( ( ва 𝜇(𝜉)) дар 𝐽, макс|𝜇| ≤ 𝜀 , 0 < 𝛿 < 𝜑 < 1 ва 𝜑𝜖𝐶 (1,𝜆) (𝐽), баъд ( ( ( ( ( ( 2 0 0 2 2 0 0 ln , , ln , , , j J d x xy y J d x x y J d o ( ( ( ( (( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝐽(𝜉, 𝜂)))))) Якобиян аст. Агар ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 2 2 2 2 0 0 0 | ln , , , ln , , , , | j d x xy y J d x x y J) ( ( ( ( ( ( (((((((((((( ( ( ( ( ( 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 , ) ) [ ( , ] J x xy y J x xy y J d x x y J ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Дар асоси (3.3)) дар асоси (3.3) бо ҳосилаи аввал маҳдудшуда, 0 0 x x y) 2 J (( ( ( C d C (( ( ( ( ( ( ( 3.1 исбот).))) Лемма 3.2 Агар ( ( 1 D f f f { ( ), , 0,1 }, { ( ), 0 } ( ( ( ( ( ( ) (1, ) 1 1 2 f C f C f [0, ], [0, 2 ] , { ( ), } ( ( ( ( ( ( , z z w). ( ) ( ( ( ( (функсия, ки доираи воҳидиро ба таври мувофиқ ба D инъикос мекунад) ( ( ( ( ( (), баъд ( ( ( ( (),), ( ( ( 1, (1, ( 1, (1,) 1 z K C z MC , ( ) ( ( ( ( () ( ( ( (( ( аз периметри 𝛿 камон даврашакл иборат аст), M( периметри камон 𝛿 аз ( ) дар D). Исботи лемма ва натиҷаҳои он дар [24] оварда шудааст) . Натиҷаи 1. Агар ( ( ( ( 1,0 f C ва f ( ( ( ( 0 0 0 ( )) ( ( ( пас тақсимоти f ба қадри кофӣ хурд аст ( 0 ~ 23 ~ 1 1 1 0 ( ) ( , ), ( ) j j J f d mesD f J ( ( ( ( ( ( ( Хулоса 2. Барои 2 худсарона ( ( ( 0)) чунин ( 0) вуҷуд дорад, ки шартҳои Натиҷаи 1 иҷро мешаванд, баҳодиҳии зерин дуруст аст 2 [0,2 ]\ ( ) ( , ) j j J f d mesD f J ( ( ( ( ( § 3.3 Дар бораи ҳосилаҳои инъикоси конформалии сфераҳои кунҷӣ) Бигзор à хати қисм-қисм бо сарҳади домени ниҳоии D ҳамвор бошад ва à ( нуқтаи кунҷӣ бо кураи кунҷӣ бошад. Дар ин маврид мо мавқеъҳои рост ва чапро ( ( (а ва а ( ( ( , z a a lim z à z a ( ( , z a a lim z à z a) ( ( ( ( ( ( () қисмҳои ) мебошанд ва онҳо ба таври зерин муайян карда мешаванд: z (( ( ( иборат аст аз параметрсозии ( ) ба тарзе, ки минтақа дар тарафи чап боқӣ мемонад, вақте ки бо афзоиши ( . . Вақте ки интихоб карда мешавад ( ( 0 ((0, 2 ( z) (( ( ( ( ( ( (: 2 { : 0 } 0 0 ( ( ( ( ( ( ( ( Мо кунҷи байни мавқеъ ( ва ( ) векторҳо бо ақрабаки соат) ҳисоб мекунем) Limma 3.2 1 0 (1, ) 1 0 0 0 .. 2 , 0, [0, 2 ], (0) (2 ) [ , ] , 0 1 k j i j j C ва c ( ( ( ( ( ( ( ( (((((((((((( ( ( ( ( барои функсияи w z C C C C k (( ( ( , , , ( ( 0 0) ( ~ 24 ~ Нобаробарї амал мекунад. Исботи Лемма 3.2-ро дар кисмхо исбот мекунем. 1) Шабакаи яке аз функсияҳои дараҷавӣ 1 12 11 w z w w z ( ) ( ( )) ( Бигзор 11 w z( ) нуқтаи қутб бошад { } ( ( ( ( ( ( ( ( 1 B { ) ) ( ( () дар нимҳавои чап инъикос карда шудааст) ва ним меҳвари воқеӣ дар нуқтаи 0 (( ( ((( 1 1 arg 2 2 ( ( ( ( ( w дар кунҷ ҷойгир аст).)) Дар ин ( ( ( 1 1 1 ( ( ( 1 1 1 ) ( дақ( , 2 ) 12 11 w w( ) 1 11 1 1 1 arg 2 2 ( ( ( ( ( w дар канори 1 1 1 ) ( ( Мо мегуем w11 ( (.). Ҳамин тариқ, 1 1 11 w z w ( ) ( ( ( , 2 ,..., w wn) -ро тавассути индуксия месозем. 1 1 ( ),...., ( ) w z w z l( ва бигзор a w w l l l l ( (1 1 (..)) .( , )) (((((((((((((((((((((((( ((((((((((((((( .( ( , ))) (( иборат аст аз инъикос Bl ( доираест, ки радиусаш ( 1 l { ( )} B wl ( ( ( ( ( ( ( нимаи чап ба ҳавопаймо инъикос карда мешавад). (0 , ) ( ~ 24) ~ ним меҳвар (( ((((((((((((((((((((((((((((((()1 (... Мо муодилаи майдонро ҳангоми ҳамворкунӣ арзёбӣ мекунем. Қисмати контури ҳамворшударо дар доира B(0, ) ҳисоб кардан кифоя аст (. Қисмати контури ҳамворшудаи D( дар бахши s( доира B(0, ) ҷойгир аст). Ин бахш аз 3 3 arg 4 иборат аст. 4 z z ( ( ( ( (( ҳамин тавр, меҳвари х дар биссектрисаи кунҷи ҳамвор ҷойгир аст. ( мумкин аст ба таври худсарона хурд гирифта шавад ва муодилаи графикро метавон ҳамчун ( ) l x f y ( ( ) навишт. Барои ин функсия ( 1, ) 0 0 [ 1,1] , ( , ) C f C C C C ( ( ( ( ( ( (3.1)) мешавад. Дар ин ҳолат инъикоси ҳамворшуда аз ( ) w z z l (), (1, ) l c ( () иборат аст. ( ( ( ). Дар q. 2 буриш кардан лозим аст) Барои саҳеҳӣ, барои баръакси Ãl ( каҷ 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) w z x y iy y f y iy l ( ( ( ( ( ). ки ( ) ( ) l f y f y ( ( ~ 25 ' 1 Re( ( ) ) ( ( ) ) Re( ) ) ( ( ) ) ( ) ) ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (3.2))) Модули махражи (3.2)-ро аз поён тахмин мезанем. Агар ин махраҷро Im AB (3.3) бигӯем, он гоҳ ' ( ) ( ( ) ), ( ) f y i A g y i B g y i ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( () мо ( ( ( (3.4))) дар ин ҷо y ( ( ва ( (0)) интихоб мекунем) ) ), 1 g i zi z c ( ( ( ( ( Дар асоси ин 1 2 1 1 2 8 8 2 AB зи AB изБ зБ з А зи Б з Б c ( ( ( ( ( ( ( ( ( Ҳамин тавр, 1 2 ImAB ( (3.5) Акнун мо нишон медиҳем, ки (3.4) имконпазир аст) (((1,c( ( агар (3.6) 1 2 z g i z g y i ( ( ( ( (0) , ( ) пас аз (3.6)) ва таърифи g y( )) ' 1 2 A iz C z z C g g y C g y y C ( ( ( ( ( ( ( ( (0) ( ) ( ) | | ( ( ( ( ( (0) ( ) ( ) | | 1 ( ) i t i t C t t s i s i s ( ( ( ( ( ( ( ( аз нобаробарии i t i s ( ( аз дифференсиатсияи функсияи каср нисбат ба t ва S)) j j j j t s C ва t s R ( ( ( () ( ( ) ( ) барои ' ' 1 B i C g y fy C f y f y Cy y C y C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( . Акнун мо метавонем (3.4)-ро дар натиљаи интихоб аз рўи шарти γ y( ) ва ' f y( ) дар (0, ) C [ 1,1] меъёр дошта бошем (ва ин меъёр чандири 0 C C нест) ( ) (3.2) Табдилдиҳии Голдери касри 0 С С( ) зиёд нест.Дар баробари ин аз он бармеояд, ки графики 1 1 x y( ) дар доирае бо радиусаш ( ) аз каҷ ( ( ) ) иборат аст. w f y iy l (. 3. Дар қисми қаблӣ à каҷ ( ) (... ( ) ) w z w w z ( k дар инъикоси Ã0 ба хати ҳамвор меравад. Ҳисобкунии ҳамвории Ã0 низ дар ин қисми 2 оварда шудааст) .Аз ин ҳисобҳо муносибати зерин барои инъикоси ww( ) ба даст меояд.(саҳифаҳои 18.127-129) 0 w w C C w ( ) ( ) ( (3.7) ww( ) функсия, D кураро ба доираи воҳид харита мекунад. w l k l ( шохаҳои функсия.Дар боло функсияи wl1 додем.( 1) ( ( . ~ 28 ~ Бинобар ин, 1 1 0 ( ) ... ( )) ( ) k w w z C C k w z ( ( мешавад. Аз ин рӯ, суперпозицияи 1 (.... ( )) w w z k низ ҳосили маҳдуд дорад:_ 0 ( ) w C C z ( (3.8) Аз пайвандҳои (3.7) ва (3.8) исботи леммаи 3.2. § 3.4. Ба' зи бахои ёрирасон Лемма 2.3 Агар 1 D f f f { ( )}, , ( (0,1)), { ( )}, (0) ( ( ( ( ( ( ( ( агар камон ( аз (0, ) (1, ) вобаста набошад, 1 f C f C [0, ], [0, 2 ] ( ( ( ( ( ( ( ( 1 { ( ), } f () ( ( ( ( ( ( ( ( ( ва z z w( )) ( ( ( функсияест, ки доираи воҳидиро мувофиқи D инъикос мекунад) ва ин инъикос 1 1 ( ) , { , 0 } ( ) , ( ) 2 2 i z e z i f ( ( ( ( ( ( ( ( (), ки 1 K z ( ) Исбот. Мувофики шарти теорема 1 z ва z ( ( ҳавопаймо ба шартҳои Голдер итоат мекунад ( ( аз рӯи индекс ) . Аз ин рӯ, масофаҳо аз нуқтаҳои шадиди ( 1 z ( ) ( ( ( ( ( ( ) ) то) арзишҳои шадиди ( ) аз хурдтар нестанд f ( мо функсияи 1 [ , ] ( ((( аз [0, 2 ] ()) тавре васеъ мекунем, ки функсияи давомдори f ( f f ( ( ) f C [0, 2 ] ( ( ( bo let. Δ f ( ( { ( )} ( ( дар нимҳамвории боло, мо майдони D1-ро муайян мекунем, ки сарҳадаш (1, ) D C 1 (( бигзор функсияи инъикоси конформалӣ z ва z( ) бошад [0,1] ( ( 1 1 1 ( , ( )) 0 2 2 2 z f i ( ( ( ( ~ 29 ~ мувофиқи принсипи симметрияи Рехман-Шварст) z z( ) ( функсия ба таври аналитикӣ то 0 C васеъ карда шудааст \( 0 ( { , } i e ( ( ( ( ( ( ( ва 0 C \( ) модули маҳдуд аст). Мувофиқи сархати аввали далел 1 z ( ) Азбаски масофа аз ( ( ) то ( 0) аз (1, ) хурдтар нест. z z C ( ) ( ( ( _нобаробарии 1 z ( ) ( ( ( _) дар атрофи баъзе К() озмоиш аст. Ин леммаро исбот мекунад. Бахои дуюми лемма низ хамин тавр собит шудааст. Хулоса 2.1. Агар wn ченаки гармоник бошад. аз камон D( 0 0 0 1 { ( ), }, 0 f h h ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( , пас нобаробарии 0 0 0 0 { } , ( )) z z D z f ( ) (((( ( ( дар w χ n) Исбот. [ , ] (пайдо шудани ченаки гармоникии ба фосилаи h h мувофиқ омада, исботи формулаи Пуассон мегардад. Дар натиҷа он дар натиҷаи инъикоси конформалӣ ба нимҳамвории боло оварда мешавад. Ин инъикоси конформалӣ баҳо дода мешавад. бо 1 z( ( леммаи 2.3. Бинобар ин, аз принсипи ќимати максималии функсияњои гармонї натиља исбот мешавад. Хулоса 2.2 Агар (1,0) 0 f C( ва ( ( ( 0 0 ( ( ( ( ( f ((((( дар сах. 18 муайян карда шудааст))), пас барои таксим кардани f тахмини зерин мувофик аст ( ( 1 1 1 0 ( ; ), ( ( j j j J f d mesD f J ( ( ( ( ( ( ()). ( Исбот. Азбаски функсияи f шарти Липшист ва аз Леммаи 2.3-ро қонеъ мекунад) w D f Агар J j j ченаки гармоникии камони кура { : , } y J ( ( ( ( ( j ( (), пас) ин функсия аз 0 () ва С вобаста аст).Мувофиқи принсипи ортогоналӣ) , } ( ( ( ) y J j D H f dà y Hdy ( ( ( ( ( ( ( ( ( ()) ~ 30 ~ )) ( ( ( ( () барои функсияи H y( ) мувофиқ аст, ки дар ( J ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ())) Натиҷа далели 2 буд. Натиҷаи 3. Барои 2 (( 0) тавре ки 0 ( нобаробарии зерин аз натиҷаи мавҷудаи 2 бармеояд. ( ( 2 [0,2 ]\ ( , ) j j J f d mesD f J ( ( ( ( ( Исбот. Агар w y J , { : , } ( ( ( ( ( j ( ( ) ченаки гармоникии камон бошад. Мо ченаки гармоникии камонро тавассути w1 муайян мекунем ( (( 1 z ( ( ( ( ( ( ()).) ( ) функсияи инъикоси бароҳат дар сфера мебошад. Барои 3 ( ( 0 тавре ки 4 ( ( 0 ) вуҷуд дорад, ки { : , } y J ( ( ( ( ( j ( ( аз ( 4) тақрибан 1 3 w () (1 ( мешавад 1 1 w w z( ) ( аз Лемма 2.3 то 3 w ( (1 ( нобаробарӣ 5) тақрибан 5 5 0 дорад ( ( ( ( ) Натоиҷи 2 дек 3 ( ( ( ) (1 ) , j f d mesD f J ((((( Дар натиҷаи тақсимот масса нигоҳ дошта мешавад), далели натиҷа дар он сурат меояд, ки 3 (бо 0 муайян карда мешавад ( ) ба қадри кофӣ хурд бошад. ~ 30 ~§ 3.5 Натиҷаҳои муҳим барои исботи теоремаи асосӣ) Дар ин параграф, мо барои исботи теоремаи асосӣ натиҷаҳои муҳим тавлид мекунем) Теорема Агар (1, ( , [0, 2 ], C ( ( ( ( ( (),)) вуҷуд дорад. -домени пайвастшуда 𝐷 тавре, ки (1, ( D C ( ( ( 𝐷 домени T T) дар худ нигоҳ дошта мешавад ва (барои ченаки U T U T V M ( ) ( ) ( ) ( ( ( ) дар Ñ D\ эътибор дорад) ченак 𝜇 дар D) мавҷуд аст. Исбот (1, ( , [0, 2 ] C ( ( ( ва U x T U x T f x ( , ) ( , ) ( ) ( ( () Мо функсияҳоро дар ( 4 2 0 2 2 1 2 4) месозем 0 , ( \ ) 1 [ ] ( ), ( \ ) ( ), ([0, 2 ]\ ( )) агар J J J агар J J J агар J J J ( ( ( ( ( ( (((((((( ), ( \ ) ( ), ([0, 2 ]\ ( )) агар J J J агар J J J агар J J J ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( )) ва ( ( j ) ) масофаи минималии байни нуқтахо аст. 0, 2 ] C ( ( ( ( ( мешавад. Мо таќсим мекунем)) исботи теоремаро ба қутбҳо. I. Дар ин ҳолат сохтори тақсимотро пешниҳод мекунем. Акнун ( ( ( nk nk nk , 0,1, 2,... ва k( (функсияҳоро ба таври зерин ворид кунед: ~ 32 ~ 0 1 1 1 0 1 , , ; , 0, ( ( ( ( ( дар он , nk nk nk ва ( ( ( ( (функсияҳо дар ин шакл ташкил карда мешаванд)) { } k n n n n n n n n n J t n J t B U T T ( ( ((((((((((((( M n0 ( ба воситаи (n0 ( мо идомаи маҷмӯи мувофиқи Уитниро ишора мекунем [16] ( ( ( ( ( n n 0 0 ( ( ( ( n n 0 0 ( ( Мутобиқи 3.2) () ки дар он ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 0 { ( )))))) ( ( ( ( ( ( ( ( 0 0, ( )) ) ) n) кунчи байни кунчхои чап ва рост дар нукта аст. ( ( 1, 0 0,2 n C ( ( ( ( ) 0 аст). Бинобар ин, (3.1) аз 1 ( ( н n 0 0 ( ( ( ( Акнун мо 0 t ( 0 0 3 , 4 0 , h n) -ро интихоб мекунем, агар J t агар J ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( n ( ( n0) дар маънои Стеклов: ~ 33 ~ Дар ин чо параметр ℎ 1 (1, ( , ( , 4 Ch C C) ( ( ( ( ()) Мо аз шарти (3.2) интихоб мекунем).Ин интихоб ва лемма 2.5 баҳои зерин мувофиқ аст (( ( ( ( ( ( ( 0 , 0 0 0 0 0 0 0 1, ) ( ) ( ) (( ( ( ( ( ( ( ( ( n 0 1 0 BUT) 0 0 0 ( н н н н (((((( ((((( ( ( ( ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , { : } ' , { : } ' , { : } ')) ((((((((((( 1 3 1 , 4 0, h nk nk J in t n J) ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ба фосила дар маънои Уитни) (( ( : ( ( nk nk 1 1 ( 0, k nk nk k nk t t J in J ( ( ( ( ( ( ( ((((((( ( Мо аз 1 4 шарт интихоб мекунем. Мо аз 1 4 шарт интихоб мекунем). Дар ин сурат мо фарки байни))) ) ва h ( nk (). h g d n n ( ( ( ( ( ( ( ( ( , , ) ) C C h nk ( ( ( ( Дар қайдҳои зерин мо вобастагии 𝐶ро аз (1, ) (1, ) ), nk nk ва ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( nk к Б У Т 1 ( ))( ( ( ( ( nk) (((((( ( ( , { : } ' , { : } ' , { : } ' , { : } ' , { : } ' , { : } ' ) ) ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (nk () ва (nk)) барои функсияҳои 1 1 0 0 0 1, , nk nk nk nk ( ( ( ( ( (nk () ва (nk ()) ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) нуқтаҳои кунҷи 0 1 ( ( ва ададҳои кофӣ хурд. (3.4) аз нобаробарӣ ( 0, )[0, 2 ] nk C ( ( ( () ба миён меояд. Агар max ( max max ( ( ( M ( ()) ( ( ( ( ( , ( ( ( ( , ( ( max J ( ) lsin. max { ( ), ( )} nk ( ( ( ( ( J ва z J ( ( ( ( ( бӯса, аз рӯи [25)) ] (0, ) ( ) ( ) nk C h z n ( ( (( аз рӯи ин нобаробарӣ массаи тақсимот аз C n зиёд нест ва дар масофаи 𝛿 аз нуқтаи 𝑧 меистад. Аз ин рӯ ( 1 max max ( 3 1 ( ) ) ( ) ( ) 4 h nk nk C h n n ( ( ( ( ( 0 C h( ) M ( ( , мо интихоб мекунем ( то масофаи байни J ва J ( ( ) аз 𝛿 зиёд набошад. ( ( мо 0-ро интихоб мекунем, то 1 2 0 1 4C ( ( ( ( ва j J ва)) J(, бигзор масофаи байни маҷмӯаҳо аз 𝛿 зиёд бошад. Дар қадами пеш аз 𝑘 охирини раванди тақсимот мо nk nk ( ( ва ) -ро интихоб мекунем, ки (0,0) (0,0) макс[ , ] nk nk ( ( ( ( ( ( ( ( ( мо функсияҳоро дар марҳилаи охири раванд интихоб мекунем): f B U D D ( ( )) { } nk ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( )) { } nk ( ( к нк н н й Ц н н н н ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( n) 3.6) Интихобан 𝑙 мо нишон медиҳем, ки (3.6) барои Дар 𝑙 = 1, (3.6) исбот шудааст. Акнун мо (3.6)-ро дар 𝑙 + 1 низ исбот мекунем. (1, ) (1, ) (1, ) (1, ) (1, ) (1, ) (1, ) 1 1 0 (1 ) (1 )l l nl nl nl nl nl nl nl n C C C C nh nh nh ( ( ( ( ( ( ( ( ~ 35 ~ Эътибории охирин (3.6) барои 𝑙 + 1 исбот шуд). (1) C n nh ( ( ( ( ( ) якранг меафзояд) мо мекунем. мебинем. ки ra C h e ((. III. ( n nk ( k () ( ( ) ( ) ( ) ( ) D à ( ( y H y dy y H y dà y ( ( ( баробарии o 𝐻(𝑦) = 1. Вақте ки 𝐻(𝑦) = 1 мешавад, он 0 ( ( ( )) мешавад ) D à ( ( y dy y dà y ( ( Аз ин рӯ ( : ( (( ) , 0, 0 n n x dà x C ( ( ( ( ( (3,7) ( ) ( ( )) ( ) n n y F F y dà y ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) мувофиқи (3.4))) дар фазои андозаҳои муқаррарии n) мувофиқи (3.7) маҳдуд шудааст. ( n ( ( пайдарпайҳо холӣ паймонанд (дар фазои ченакҳо)) Бинобар ин, пайдарпаии қисман конвергенти сабук ( nq ( ~ 37 ~ ҷудошаванда аст, то сабук бошад) ( ( nq ( ( ( IV. IV). Арзёбии ҷамъи наздикшавии потенсиали қабати муқаррарӣ бо потенсиали ҳаҷм дар ҷараёни тақсимот. Мо наздикшавии потенсиали қабати оддии зичии (1 ) nk ( ( ( ( k m)) ба потенсиали ҳаҷме, ки зичии массааш ба як баробар аст, пешниҳод мекунем. Мувофиқи Лемма 1,5, (0, ) nk C n ( ( ( нисбат ба лемма 3,1 ра (( ( ( ( ( ( ) 2 2 0 0 2 2 0 0 (0, ) ) | 1 1 ( ) ( ) () ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) дар Lemma 2.1 асос ёфтааст. Дар ин ҷо ( , ) { : ( ) ( )} ( , ) ( , ) nk D x y J J D ( ( ( ( ( ( ( ( () Ҳоло) агар барои 𝑘 = 1,2, … ., 𝑚 1 1 (0, ) ( ) ( ) 0 nk k o n n ( ( ( ( ( ( (((((((((((( ((((((((((((( ( ( ( ( ( ( ( ( () Агар nk f гӯем (( дар натиҷаи дуюми 2.2),)) ( ( ( ( ( ( ( ( ( Аз натиҷаи дуюми 2.2, 0 2 l f f) ( ( ( ( ( барои яъне дар асоси интихоби 𝜀 аз натиҷаи 2 ( ( ( ) 0 л ( l f f f ( ( ( ( ) 0 л ( ( ( Мо теоремаи асосиро исбот мекунем. Мо далелро аз муколама тахмин мекунем. Аз теоремаи баръакс ноқил (дар D ( ( 0) андоза V D x C D ( : 0, \ (( ( ( Дар асоси Лемма 1.1 ( ) ( ) 0 D h x d x ( ( ( (3.8) ℎ) ихтиёрӣ (𝑥) ) барои функсияи гармоникӣ мувофиқ аст.Бигзор f функсияи муттасил дар D(, , f f f h h D дар h f D ( ( ( ) ҳалли масъалаи Дирихли бошад. Азбаски полиномҳои гармоникӣ дар метри C D( ( ) ( ) зичанд. 0 D f x d x ( ( ( Аз ин , 𝜇 = 0 ба даст меояд. Тазоди теоремаи асосиро исбот мекунад. ~ 39 ~ ХУЛОСА) Дар хотима гуфтан мумкин аст, ки масъалаи додашуда дар чустучуи маъданхои зеризаминй ахамияти калон дорад. ва сарватхои зеризаминй Яке аз масъалахои мухимтарини сохаи геология мебошад.