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Didactics of Mathematics as a Scientific Discipline, 351-365.
© 1994 Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands.
1. INTRODUCTION

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give a picture of the role of individualism as a historical type of reasoning in
mathematics as well as in school. Looking for reasons for this individualist
version of epistemology, we step back to gain a view of the influence of
society at large on certain notions of science, knowledge, and school learn-
ing. We find that the positivist perspective cannot take into account the
clash between substantialist and functionalist perspectives on knowing and
meaning. Mathematical formalism cannot be treated in a formal way, as did
positivism. We conclude that the complementarity of substantialist and
functionalist aspects of knowing and meaning requires a historical perspec-
tive – giving a picture of the subject and the self that goes beyond individu-
alism as it highlights its historical origins and becoming.
2. REASONS TO EMPLOY A HISTORICAL PERSPECTIVE IN THE
MATHEMATICS CLASSROOM
History has traditionally been used as a source to stimulate students' motiva-
tion for doing mathematics, and we would like to shortly review some of the
arguments in the following part. It seems rather obvious that such an em-
ployment of history is unsatisfactory, as the student very quickly learns that
the real stuff comes only after the "storytelling" is over.
The idea of linking the studies of mathematics with those of the history of
that subject was quite popular in Germany during the 19th century
(Gebhardt, 1912). This idea has been revitalized by, above all, Otto Toeplitz
whose posthumously published book, Die Entwicklung der Infinitesimal-
rechnung. Eine Einführung nach der genetischen Methode (1949), has been
widely appreciated although it was not successful in the stricter sense.
Toeplitz’s endeavors are to be understood in relation to the many activities
of German mathematicians, like Weyl, Speiser, Dehn, Siegel, and others,
who tried to place mathematical production into a broader cultural context.
Since 1945, Bourbakism has overthrown these attempts, and only during the
last 15 years has a certain change of attitude taken place. Nevertheless, the
only text specifically devoted to the introduction of historical ideas into the
mathematical classroom at school level is the collection of sources compiled
by Popp (Popp, 1968). At the university level, the situation is a little more
favorable. But still there is only one text devoted to the introduction into a
mathematical discipline via historical argumentation (Scharlau & Opolka,
1980). Our own activities started in 1979 when the Volkswagen Foundation
financed our proposal (Otte, 1977) enabling us to organize an international
as well as interdisciplinary meeting on Epistemological and social problems
of the sciences in the early 19th century (Jahnke & Otte, 1981).
Often historical themes are introduced into the classroom in order to
counterbalance the technical treatment of mathematical ideas. Mathematics
is approached then by asking for its connections to other areas of human
cultural activity. Positivist-formalistic conceptions of mathematics, on the
contrary, start from the specificity of mathematics in comparison to the
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HUMAN SUBJECT IN HISTORY

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other sciences and in contrast to other fields of human experience. It seems
obvious that this notion of positivism may well function as a stumbling
block in the process of making mathematics meaningful in the classroom
just because it emphasizes the unconnectedness of the mathematical experi-
ence to other fields of experience. This notion of the specificity of mathe-
matics in the spirit of positivism is still rather typical for the use of history
in the mathematics classroom quoted above. Accordingly, the critique of the
positivist-formalist doctrine will form one major intention of the present pa-
per.
The specificity of mathematics is not to be seen in any particularity of
method or content but rather in the fact that science in general is a child of
the social division of labor. From this results the formal character of math-
ematics and the abstract image of science. Mathematics according to such
an understanding is hypothetico-deductive reasoning.
The formal character of mathematics, historically, is connected closely to
an epistemological insight that is essential for modernity, that is, the idea of
"relational thinking." According to this notion, the content of theoretical
concepts does not refer to things but to relations between things (see
Cassirer, 1953). The essence of scientific thinking in general consists, as
Max Born once said, in the discovery that relations can be controlled as well
as communicated, whereas phenomena or things cannot. This holds also
with respect to data that seem to speak for themselves by communicating
their meaning. For example, the information that 7,000 people have been
killed through traffic accidents in a certain country during a certain period
of time takes on a fundamentally different meaning if it is supplemented
with the additional information that the respective figures have ranged be-
tween 10,000 and 15,000 during preceding periods compared to the infor-
mation that these figures had always been smaller than 2,000.
There is another motivation to include the history of mathematics into
mathematics teaching. The claim of an absolute objectivity of knowledge
cannot be justified, because there is not only one correct interpretation or
just one possible meaning of a piece of knowledge. Theoretical terms are
valuable as means of cognitive activity just because they represent idealiza-
tions that cannot be dissolved exhaustively into one particular possible in-
terpretation or application. Formal mathematical knowledge as well as ev-
eryday procedural knowledge is silent beyond the representation given in
the sense of Wittgenstein’s dictum: "What can be shown cannot be said"
(1974, 4.1212). A representation, accordingly, hides that which it does not
express. In contrast to a representation, a theoretical concept per se ex-
presses nothing and says very many things. Each successful application of a
concept shows it in a different light; each of its representations leads to a
different conclusion or to a different activity. The power of a concept in the
"relational" meaning thus cannot be seen in its mapping of reality but in the
potential relations it opens up. The "potentiality" of theoretical concepts is
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also gained in the process of historically reconstructing the development of
a mathematical concept or a mathematical idea. History provides us with the
insight that there is not one mathematics, and this insight might encourage
and strengthen the learner with respect to her or his own personality and ap-
proach to knowledge. Thus, the meaning of "relational" also applies to the
relation of knowledge to the human subject, as is very well put in Max
Born’s statement quoted above.
Mathematics education has to take into account that there is no knowl-
edge without metaknowledge, that one cannot learn a theoretical concept
without learning something about concepts, in order to understand what
kind of entities those are. This metaknowledge can, however, be developed
by means of historical studies.
3. MEDIATEDNESS, METAKNOWLEDGE, THE INDIVIDUAL, AND
LITERACY
Education aims at organizing processes of learning. Such processes always
undergo a dual determination, as learning is always at the same time met-
alearning. Even the mechanical learning of rules, like learning to execute an
algorithm, is accompanied by a second-order learning, by metalearning
(Bateson, 1983).
The increase in mechanical learning, which represents a phenomenon of
metalearning, and the individual variation show that learning and knowl-
edge are always reflexive, or that the genesis of knowledge is to be under-
stood first with regard to its relationship to the world of objects, and second,
with regard to the subject's inner world, the relationship to the self.
Difference and connection between learning and metalearning thus have to
be discussed against the background of the distinction between subject and
object. This distinction is absolutely dependent on communication. We
communicate with the subject about the object, and not vice versa.
Cognition and communication very much depend on the means and media.
Both changed deeply with the invention of the phonetic alphabet in antiq-
uity and with the invention of the printing press during the 15th century. J.
Goody, among others, has investigated the impact of literacy on human
thought. He writes:
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HUMAN SUBJECT IN HISTORY
. . . it is not accidental that major steps in the development of what we now call
"science" followed the introduction of major changes in the channels of
communication in Babylonia (writing), Ancient Greece (the alphabet), and in
Western Europe (printing). (1977, p. 51)
The specific proposition is that writing, and more specific alphabetic literacy,
made it possible to scrutinise discourse in a different kind of way by giving oral
communication a semi-permanent form; this scrutinity increased the potentiality
for cumulative knowledge, especially knowledge of an abstract kind, because it
changed the nature of communication beyond face-to-face contact as well as the
system for the storage of information . . . . No longer did the problem of memory
storage dominate man's intellectual life; the human mind was freed to study static

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In historical terms, the role of printing was predominantly that it fundamen-
tally changed the relation between people and knowledge and thereby the
concept of knowledge in society as well as the individual’s position (cf.
Glück, 1987). Mathematics played a greater role than other kinds of knowl-
edge in those processes, because it helped to develop new technologies as
well as to organize and systematize the knowledge and experience of the
practitioner. Descartes’ algebraization of geometry, for instance, was pri-
marily intended to bring new order into the geometrical knowledge of Greek
antiquity as well as that of the artisans and mechanics of his time.
Cognitively, the distinction between subject and object and communica-
tion between subjects has the advantage of permitting a change of perspec-
tive on the object. All representation of objectivity is based on a variation of
perspective. It yields the advantage of a double check of reasoning, and the
still greater advantage of developing logic and methodology. This double
check or this possibility of an alternative perspective is greatly enhanced by
literacy, in particular, since the invention of the printing press.
Printing made it possible to compare statements exactly. Different readers
could discuss a specific argument that was located precisely within identical
copies. Text became autonomous from interpretation by an established au-
thority. Contradictions and connections between arguments became clearly
visible. Before the printing press, to study medicine meant to study Galen,
to engage in physics or geography was to read Ptolemy, and to learn math-
ematics meant to study Euclid’s Elements. Texts were only considered
truthful and trustworthy during the Middle Ages if the name of the author
was indicated as well as those of the compilator and the commentator.
Statements on the order of "Hippocrates said . . ." or "Pliny tells us . . ."
were markers of a proven discourse. Only afterwards did it become possible
to surpass ancient authority and to check conflicting or incomplete verdicts
rendered by their teaching against the great book of Nature or against own
experience. Discourse was no longer able to justify its claims by referring to
the supporting authority of another, and it was constrained increasingly to
become self-authorized. Enlightenment assumptions and revolutionary ex-
perience coalesced with printing technology. With the availability of identi-
cal texts, not only the content of an argument but its style and particular ex-
pression became relevant too. And this fostered individualism (see, also,
Havelock, 1986; Ong, 1982, for other accounts of the rise of individualism
in relation to print and literacy).
4. IDENTITY IN MATHEMATICS
The formation of any theory begins with certain principles of individuation
that serve to establish the ontology of the theory, that is, the claims for the
existence of the objects about which the theory speaks or wants to speak. In
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"text" (rather then be limited by participation in the dynamic "utterance"). (1977,
p. 37)

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HUMAN SUBJECT IN HISTORY
more or less close analogy, any society may be characterized by specifying
the principles and social mechanisms of personal individualization.
In mathematics, we are familiar with two types of identity principle,
which we should like to characterize with the names of Leibniz and
Grassmann respectively. The first type goes back to Leibniz’ principle of
indiscernibility, or his principium identitatis indiscernibilium, which actu-
ally dates back to Aristotle. It consists in the thesis that there are no two
substances that resemble each other entirely but only differ quantitatively,
because then their "complete concepts," that means, the concept that
characterizes the substance completely, would coincide. The ultimate goal
of classical science, which is, in general, to be accomplished only by God
through an infinite analysis, lies in the determination of the individual
substances. The goal of modern science, on the contrary, is to be seen in
appropriate generalizations that orient technical action and prediction.
Modern science assumes that reality is general rather than specific, and,
therefore, that knowledge is related toward an abstract formal order rather
than being knowledge of a specific, substantive order (a formal order allows
more freedom to the individual than a substantive order).
According to Leibniz’s principle, there is no distinction without a motive,
without a reason, as Leibniz stresses in his correspondence with Clarke
(Alexander, 1956, p. 36). The second constructivist principle of individua-
tion in mathematics is based on precisely the opposite view, that is, on a
distinction without motive and reason. "It is," writes Grassmann, "irrelevant
in what respect one element differs from another, for it is specified simply
as being different, without assigning a real content to the difference. Our
science shares this notion of element with combinatorics" (Grassmann,
1844/1969, p. 47; our translation, M.O./F.S.). This kind of individuation is,
first of all, a process by which a certain perspective and style of reasoning is
introduced that guides our cognitive activities.
As distinct from the substantialist principle of identity, the problem here
is to be understood as a functionalist principle of identity. Two objects are
equal if they are functionally equivalent in a certain way specified by the-
ory. This principle has been much emphasized in AI research (cf., e.g.,
Bundy, 1983, p. 42). In order to establish equality in the context of an ax-
iomatic theory, we would have to single out those functions and predicates
that make up the substitution axioms that distinguish equality from other
equivalence relations, those n-ary functions f or predicates p that are com-
patible with the equality relation.
Leibniz’s theory of identity derives from the traditional Aristotelian the-
ory of substances. Substances are the subjects of predication. They are in
this sense the prerequisite of properties and relations, and they cannot, as
modern analytical philosophy believes, be reduced to bundles of qualities.
Otherweise all knowledge would be analytic and loose its connection with
reality. A equals B or A = B means that A and B are appearances of the same
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substance. In Fregian terminology, this is stated by saying that A and B
represent different intensions of the same extension or that they are
representations with a shared referent but different meanings. The other,
Grassmanian view interprets "A is B" in terms of the idea of shared qualities
of different things. In modern mathematics, as in modern analytical
philosophy, it is not the substances that matter but the relations. The objects
of a theory are equivalence classes of unidentified elements, which are
constituted according to a functional principle of operativity.
As the objects of a theory become identical with their descriptions, we get
applications of knowledge as a problem in their own right. Theories become
realities sui generis.
A good example, which illustrates the two identity principles, is the
equation A = B provided by economic exchange. Every commodity contains
use value and exchange value. Empirical abstraction starts with use value as
the notion that constitutes the individual goods and finds out about the ex-
change value only a posteriori on the market place. Theoretical abstraction
considers exchange value as the essentialy quantitative representation of an
independent substance, namely, economic value as such. Economic activity
in a capitalist society makes exchange value its real end and the use value a
means to this.
In school, too, we are familiar with these two types of individuation: the
substantialist and the functionalist. They characterize the transition from
arithmetic to algebra. For children, numbers at first have a shape and a life
of their own. 1/2 is a privileged fraction, and it is easier to calculate with
than the other rational numbers. Substantialist reasoning inquires into the
properties, the essence, the meaning. Functionalist reasoning treats all those
things as identical that function in the same way within a certain context.
Thus, if we assume that numbers are determined above all by the fact that
they lend themselves to calculations according to certain axiomatically
preestablished principles, then these numbers can be designated by general
symbols x, y, . . . , and so forth. In algebra, calculating is thus done with in-
determinate or "general" numbers, that is, with variables that designate
numbers only with regard to the fact that they can be treated arithmetically.
A second example is the following: Students, as a rule, have difficulties
with equations, because they have interpreted and learned the equality sign
in the sense of "yields." This "input-output" interpretation represents a "di-
rect" understanding of the equation. The concept of equation has not yet
been transformed into an object of mathematical reflection; a relational or
functional understanding has not yet been achieved.
5. IDENTITY AND THE SOCIETAL SUBJECT
Societies also are based on principles of individuation and are determined
according to which principles of identity or individualization they en-
counter. In a way parallel to the above distinctions, an organic and a func-
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HUMAN SUBJECT IN HISTORY
tionalist principle of identity exist in society as well. On the one hand, peo-
ple are determined by their individual personalities, and, on the other hand,
by the functions they assume in the larger society characterized by division
of labor. Every social individual is a contradiction in itself insofar as it has
both an organic-biological and personal existence and, on the other side, is
integrated into society by the roles it fulfills. The exemplification of the two
conceptions of an equation A = B in terms of economic value of commodi-
ties is a direct expression of different conceptions of society.
Aristotle regarded society as a substance, and this view persisted up to the
15th or 16th century. But society is a rather unusual substance, in that hu-
mans have a capacity to think and choose the ends they pursue. There is un-
deniably a tension between the view that society is a substance and the view
that humans are free agents. A single metaphor for society, which prevailed
from antiquity to the beginning of capitalism, was that of an organism,
whereas, for modern capitalist society, another analogy came to seem more
appropriate: the analogy with a set or an aggregate. The analogy of the set
has been pervasive in the thought produced in capitalist society as the anal-
ogy of the organism was in precapitalist society. In traditional precapitalist
society, there did not exist a contradiction or tension with respect to the
definition of the individual. In precapitalist formations, the forms of social
relations that correspond to these are personal dependence. In capitalist so-
ciety, there is personal independence based on objective dependence. We
may, in summary, note that the complexity of our reasoning and of our per-
sonality in general increases with the complexity and formality of our social
relations. Individualism is a product of social history, not of nature. It is also
a product of social division of labor that leads to conflicts between the
world of science and the everyday world.
This problem has been investigated with reference to the problems of sci-
ence education (see, e.g., DiSessa, 1982) and it has been described in a
rather general setting by the British philosopher Gilbert Ryle in his book