Book · January 994 citations 110 reads 2,264 authors

Invariance is a central and fruitful idea in mathematical research (e.g.,
structural isomorphisms, characterization by invariants, Klein's Erlanger
program, Galois theory, etc.). It has temporarily gained some attention in
school mathematics during the wave of mapping-oriented geometry
("Abbildungsgeometrie"), but seems to be too abstract an idea to be helpful
for learning mathematics in school.
Schreiber (1983) proposes very general ideas such as exhaustion (e.g.,
successive approximation, mathematical modeling, also real approxima-
tion), idealization, abstraction, representation as basic and universal. It is
unquestionable that these ideas are universal, but I doubt – and here I rely
on modern research on learning – that these ideas are powerful tools and/or
have a special explanatory power in the realm of learning mathematics.
Other mathematics educators have proposed extracting fundamental ideas
more in an inductive and pragmatic way for specific subject matter. Funda-
mental ideas are seen as central points in a relational net and/or as powerful
tools for mathematical problem-solving or mathematical modeling in a cer-
tain field. One distinguishes between: (a) central concepts that refer to
mathematics as product, (b) subject specific strategies, and (c) patterns of
mathematization, the last two stressing the processual aspect (cf. Tietze,
1979). An idea can be fundamental in more than one sense. As modern
transfer research shows, it is not the general heuristic strategies that are
powerful in problem-solving, but strategies that are specific to a certain
matter.
The central concepts of a subject matter depend on the perspective from
which one looks at it. If one takes Bourbaki's perspective on linear algebra,
then vector space, linear mapping, scalar product, and Steinitz exchange
UWE-PETER TIETZE
49

---

CURRICULA AND GOALS
theorem are central. If one looks at it from the angle of "linear algebra and
its applications" (e.g., Strang, 1976), then linear equation and Gaussian al-
gorithm are fundamental. We shall discuss some subject-specific strategies
and patterns of mathematization. The "analogy between algebra and geome-
try" (geometrization of algebraic contexts and vice versa) is a powerful tool
in coping with mathematical questions. The analogy between geometric
theorems such as Pappos, Desargues, cosine law, ray law, and so forth, and
the corresponding theorems/axioms in the language of vector spaces are
powerful in solving problems and/or gaining an adequate understanding. By
interpreting the determinant as oriented volume, many complicated proofs
"can be seen." In the latter example, another fundamental idea is involved,
the idea of "generalized visual perception," which means translating geo-
metric concepts and "carrying names" of the perceptual 3-dimensional space
to the abstract n-dimensional space. This idea allows, for example, a normal
applicant of complicated statistical procedures, such as factor analysis or
linear progression, to get an adequate idea of the tool, its power, and its
limits.
Fischer analyses fundamental ideas of calculus in an influential work
(1976). He particularly stresses the idea of exactifying, which was described
in section 3.1. He further accentuates the following ideas in addition to oth-
ers: approximation, rate of change, and the potential of a calculus (in a gen-
eral sense).
4. APPLICATION-ORIENTED TEACHING TAKING CALCULUS AS
AN EXAMPLE
By the turn of the century, the question was already in dispute as to what
emphasis should be given to application-oriented problems in calculus
teaching. This discussion took place against the backdrop of the magnificent
technical and industrial development occurring at that time. The opinions
ranged from "application means providing an inferior service" to "mathe-
matics should only be taught on behalf of its applications." The central idea
of the formal education of the traditional and dominant German "Humani-
stisches Gymnasium," with its major interest in ancient languages, was an
important issue in this discussion. Klein attempted to reconcile the conflict-
ing positions in this dispute by pleading for "practical calculus, which limits
itself to the simplest relationships and demonstrates these to the students by
modeling familiar processes in nature" (1904, p. 43, translated).
There is an intensive discussion on teaching applied mathematics and
mathematical modeling in Germany today. This must be seen, in part, as a
reaction to the extreme structure orientation of the late 1960s and 1970s.
One can distinguish three main trends in the argument (cf. Kaiser-Messmer,
1986): (a) an emancipatory trend, (b) a science-oriented trend, and (c) an in-