Book · January 994 citations 110 reads 2,264 authors

The Process of Education (published in German in 1970), this conception
has raised concern under German mathematics educators. In Wittmann's
widely read book Grundfragen des Mathematikunterrichts, the request that
mathematics teaching should center on fundamental ideas is one of the cen-
tral didactic principles. Wittmann follows Bruner also in the didactic prin-
ciple that the fundamental ideas of mathematics, adequately adapted, can be
conveyed to students of any age. Bruner wanted the best scientists of each
discipline to work out the fundamental ideas. This conception suffered from
the fact that no consensus on the central ideas could be achieved. The gen-
eral educator Blankertz objected that the choice of fundamental ideas in a
subject cannot be abstracted from the educational objectives and should not
therefore merely be assigned to the specialists.
Along with Bourbakism, there has been a strong trend in mathematical
science to structure mathematics with the help of basic conceptions such as
composition/order/topology or set/structure/mapping. These conceptions
have had a tremendous impact on modern mathematics, but – from the per-
spective of school mathematics – are related mainly to mathematics as a
product. Their explicatory and ordering power exceeds the realm of the
school, especially after the retreat from new math. Halmos (1981) tried to
evolve basic ideas that refer also to the process of doing mathematics as a
researcher. He ended up with the following catalogue: (a) universal algebra:
structure, categories, isomorphism, quotients; (b) size: primes, duality, pi-
geonhole, infinity; (c) composition: iteration, cross-section, exponential;
(d) analogy: commutativity, symmetry, continuity. He is aware of his specu-
lative attempt: "Is what I have been saying mathematical mysticism, or is it
possible that there really are some underlying guiding principles in mathe-
matics that we should try to learn more about?" (Halmos, 1981, p. 152).
There have been several attempts to cope with the question of fundamen-
tal ideas in math education (for a historical survey, cf. Schweiger, 1992).
Some inquiries try a general approach, others focus on special subject mat-
ter such as calculus. Although there are differences in the methodological
approach and the philosophical background, one nevertheless can find much
correspondence when comparing inquiries on fundamental ideas for mathe-
CURRICULA AND GOALS
48

---

matics as a whole. Algorithm (mechanical procedure for calculation or deci-
sion-making, the idea of calculus, computability, programming), approxi-
mation, function (assignment, mapping, transformation, operator), and
modeling are well accepted as central aspects of mathematics in school.
Linear functions are of importance in many fields of secondary mathe-
matics. In junior high school, proportionality prevails, but also geometrical
topics such as area and similarity can be treated fruitfully under the aspect
of linearity. In senior high, differentiation, integration, and the mapping of
convergent series to their limits can be seen as linear operators. Linearity is
of course central to linear algebra (linear mappings, linear and multilinear
forms such as scalar products and determinants). Linearity can also mean
linearization. Thus differentiation can be looked at under the aspect of local
linear approximation (instead of local rate of change). Special linear approx-
imations of certain functions (e.g. for 
small x) are of importance.
Linearization is also relevant to Newton approximation and to the theory of
errors. In stochastics, linear regression is a powerful tool. But linearity has
not become an organizing idea for the students. This seems also to be true
for quite a few teachers.