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part of a theory-practice cooperation.
There is a fundamental epistemological dilemma in every mediation of
mathematical knowledge: When teachers intend to provide new knowledge
to their students, they have to use some specific (mathematical) signs and
diagrams (carriers of the new knowledge), which are connected by some
stringent rules, and they have to focus the students' attention on these
knowledge carriers. However, the knowledge and its meaning is not con-
tained in these carriers. These symbolic signs and diagrams are some kind
of concrete substitute for the knowledge itself; they can only point to the
knowledge and its meaning intentionally. This cannot be read off directly
from these symbolic means, but has to be reconstructed from them actively.
Would it not be easier to communicate the mathematical meaning di-
rectly? But is this at all possible? This problem is the basis of the epistemo-
logical dilemma: Teachers have to use some kind of knowledge carrier, and
have to cope with it strictly, and, at the same time, they have to be aware
and to let their students know that the students themselves have to search
for the meaning of the knowledge, which is not inherent to the symbolic
means but is constituted in the relations students are able to construct
between the symbols and some intended referential context.
An example may illustrate this epistemological dilemma. Consider the
following problem from a textbook for 6th-grade students:

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This problem deals with the division of fractions and tries to use a graphic
diagram to mediate in a direct way the meaning of fraction division. This
contrast between formula and graphic diagram is suitable to clarify some
epistemological aspects between sign and object (or referent) in school
mathematics. On the one side, there are mathematical signs connected by
some operational symbols, functioning as a little system: On 
the
other side, there is a geometrical reference context, intended to furnish
meaning for the signs and operations. The diagram should support the pro-
cess of constructing a meaning for the formula. The relational structures in
the geometrical diagram and the formula are the important aspects and not
the signs itself.
In which way can this diagram give meaning to the formula? Is it
possible to deduce the idea of the division of fractions from it? Is it
adequate to conceive of the elements in this diagram as concrete objects for
directly showing the meaning of division?
First of all, one observes that all problems to be tackled have denomina-
tors that are a multiple of the denominator of the other fraction. Conse-
quently, the intended explanation with the help of the diagram cannot be
universal. A certain type of fractions seems to be presupposed, indicating a
first reciprocal interplay between diagram and formula. There are more in-
dications for this interplay: In this representation, a variable comprehension
of 1 or the unit is necessary. The big rectangle with the 15 squares once is
the unit, used to visualize the proportions of 
and 
as four rectangles
(with 3 squares each) and as a rectangle of 2 squares respectively. The com-
position of three squares to a rectangle represents a new unit or 1. When in-
terpreting the operation the 
epistemological 
meaning of the re-
sult "6" changes according to the changes of the unit. How is the 6 repre-
sented in the diagram? It cannot be the sextuple of the original rectangle,
hence no pure empirical element.
The 6 could mean: In 
there are 6 times 
or there are 6 pairs of two
squares in 
Or, interpreting as as implicitly suggested in the dia-
gram itself, the operation modifies to: 
But this is nothing
other than the operation: 12 : 2 = 6, because the denominator can be taken
as a kind of "variable," that is, the 15 could also be 20, or 27, and so forth.
In this division, in principle, the half is calculated, a division by 2 is made.
The analysis shows changing interpretations of the unit: First, the unit is
represented by the big rectangle of 15 squares, then one single square also
represents the unit. The epistemological reason is that a fraction like 
is
not simply and exclusively the relation of trie two concrete numbers 12 and
15, but a single representative of a lot of such relations:
What is defined as the unit in the diagram is partly arbitrary and made
by some convention, and, furthermore, the constraints of the geometrical di-
agram and of the given numerical sign structure determine partly the choice
of the unit. For instance, for this arithmetical problem, it would not be an
HEINZ STEINBRING
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adequate choice to take the rectangle of 5 x 7 squares as the unit; whereas a
rectangle of 6 x 10 squares, or subdivision of the squares into quarters,
would be valid.
The intentional variability implicit in the numerical structure of a fraction
is partly destroyed in the geometrical diagram used to represent the fraction;
this variability has to be restored in the diagram by means of flexibly
changing the unit. The concrete single diagram, with its parameters once
chosen, has to be conceived of as a "general" diagram.
The relational structures in the object (referential system) and in the sym-
bol system depend on each other. The relations have to be installed by the
subject in accordance with structural necessities; a certain compatibility be-
tween the system of symbols and referents can be obtained only through the
intended generalization of epistemological relations. This generalization is
the objective to be learned and to be constructed by the learner.
Epistemological, didactical, and historical research has extended the per-
spective on the specific nature of mathematical knowledge (cf., e.g.,
Balacheff, 1987; Jahnke, 1978; Lakatos, 1976; Otte, 1984b; Steinbring,
1991a; Steinbring, 1993). The mathematical meaning results from relations
within a system; knowledge is represented by a specific way of constructing
relations. The most elementary relational form of theoretical mathematical
knowledge can be characterized as the epistemological triangle:
The meaning of theoretical knowledge emerges in the conflict between
symbol/model on the one side and object/problem area on the other side (cf.
Otte, 1984a; Steinbring, 1989). This epistemological triangle of mathemati-
cal knowledge is based on the characterization of "meaning" as the "triad of
thoughts, words and things" (Odgen & Richards, 1923, p. 11). With regard
to this epistemological triangle of "object," "sign," and "concept," it is not
assumed that the relations between the "corners" of the triangle are fixed a
priori, but that they must continously be developed, installed, and
eventually modified according to new prerequisites (cf. Bromme &
Steinbring, 1990).
The peculiar aspect of mathematical concepts described by this epistemo-
logical triangle is the fact that the reference between object and symbol is
not organized simply as a conventionalized name, but must be developed as
a conceptual relationship. The ciphers 2 and 15 in the fraction given in
this example are not an economic name for an object, like, for instance, the