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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CIUDAD JUÁREZ NOMBRE DE LOS INTEGRATES:
Rigoberto Hernández Gramillo
Ruth Nohemí Beltrán Cruz
Jorge Alberto Cruz Ramos
Luis Alberto Molina Gasca CARRERA:
Tecnologías De La Información Y De La Comunicación MATERIA:
Desarrollo de Habilidades de Pensamiento Lógico
TEMA:
Algebra Booleana
PROFESOR: Leonardo Daniel Andrade Mendoza CUATRIMESTRE: Primero
GRUPO:
Ticm15 1
MAPA CONSEPTUAL DEL TEMA ALGEBRA
BOOLEANA CLAUDIE
E.SHANNON ESPOSA DE GEORGE BOOLE
ANTECEDENDENTES HISTORICOS GEORGE BOOLE
APLICACIONES DEL ALGEBRA DE BOOLE TEOREMAS DEL ALGEBRA
DE BOOLE
LOGICA PROPORCIONAL CONECTORES LOGICOS TABLAS DE VERDAD 2
ANTECEDENTES HISTÓRICOS DEL ALGEBRA DE BOOLE Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948. A mediados del siglo XIX, George Boole (1815-1864), en sus libros: "The Mathematical Analysis of Logic" (1847) y "An Investigation of te Laws of Thought" (1854), desarrolló la idea de que las proposiciones lógicas podían ser tratadas mediante herramientas matemáticas. Las proposiciones lógicas (asertos, frases o predicados de la lógica clásica) son aquellas que únicamente pueden tomar valores Verdadero/Falso, o preguntas cuyas únicas respuestas posibles sean Sí/No. Según Boole, estas proposiciones pueden ser representadas mediante símbolos y la teoría que permite trabajar con estos símbolos, sus entradas (variables) y sus salidas (respuestas) es la Lógica Simbólica desarrollada por él. Dicha lógica simbólica cuenta con operaciones lógicas que siguen el comportamiento de reglas algebraicas. Por ello, al conjunto de reglas de la Lógica Simbólica se le denomina ÁLGEBRA DE BOOLE.
Todas las variables y constantes del Álgebra booleana, admiten sólo uno de dos valores en sus entradas y salidas: Sí/No, 0/1 o Verdadero/Falso. Estos valores bivalentes y opuestos pueden ser representados por números binarios de un dígito (bits), por lo cual el Álgebra booleana se puede entender cómo el Álgebra del Sistema Binario. Al igual que en álgebra tradicional, también se trabaja con letras del alfabeto para denominar variables y formar ecuaciones para obtener el resultado de ciertas operaciones mediante una ecuación o expresión booleana. Evidentemente los resultados de las correspondientes operaciones también serán binarios. Todas las operaciones (representadas por símbolos determinados) pueden ser materializadas mediante elementos físicos de diferentes tipos (mecánicos, eléctricos, neumáticos o electrónicos) que admiten entradas binarias o lógicas y que devuelven una respuesta (salida) también binaria o lógica. Ejemplos de dichos estados son: Abierto/Cerrado (interruptor), Encendida/Apagada (bombilla), Cargado/Descargado (condensador) , Nivel Lógico 0/Nivel lógico 1 (salida lógica de un circuito semiconductor), etcétera. Los dispositivos con los cuales se implementan las funciones lógicas son llamados puertas (o compuertas) y, habitualmente, son dispositivos electrónicos basados en transistores. ¿QUIEN FUE GEORGE BOOLE?
(Lincoln, Reino Unido, 1815 - Balli temple, actual Irlanda, 1864) Matemático británico. Procedía de una familia venida a menos y tuvo que desestimar la idea de convertirse en monje al verse obligado a mantener a sus padres. A los dieciséis años enseñaba matemática en un colegio privado y más tarde fundó uno propio. A los veinticuatro años, tras la publicación de su primer escrito, pudo ingresar en Cambridge, pero desestimó la oferta, de nuevo a causa de sus deberes respecto a su familia. En 1849 le nombraron profesor de matemáticas del Queens Collage, en Cork, donde permaneció el resto de su vida. El gran descubrimiento de Boole fue aplicar una serie de símbolos a operaciones lógicas y hacer que estos símbolos y operaciones –por elección cuidadosa– tuvieran la misma estructura lógica que el álgebra convencional. En el álgebra de Boole, los símbolos podían manipularse según reglas fijas que producirían resultados lógicos. 3
En 1854 publicó Investigación sobre las leyes del pensamiento, libro que trataba por completo de la lógica simbólica y su álgebra. La influencia de esta lógica matemática sobre las matemáticas modernas tendría una evolución lenta: si en un primer momento no parecía más que un intrincado juego de palabras, más adelante se vio que era de lo más útil, y hasta completamente indispensable para conseguir la matemática lógica. Boole se casó a la edad de cuarenta años y tuvo cinco hijas, a las que no llegó a ver adolescentes .
¿CÓMO SE LLAMÓ LA ESPOSA DE GEORGE BOOLE? Mary Everest (Sobrina de Sir George Everest) Hijas. Mary Ellen nació en 1856, Margaret nacido en 1858, Alicia (más tarde Alicia Stott), nacido en 1860, Lucy Everest nacido en 1862, y Ethel Lilian nació en 1864.
¿QUIÉN FUE CLAUDE E. SHANNON? Claude Elwood Shannon (30 de abril de 1916, Míchigan - 24 de febrero de 2001), ingeniero electricista y matemático estadounidense, recordado como "el padre de la teoría de la información". Ingeniero estadounidense. Se graduó en ingeniería por la Universidad de Michigan en 1936 y, cuatro años más tarde, obtuvo un doctorado de matemáticas en el Massachusetts Institute of Technology. Durante su estancia en dicha institución empezó a trabajar sobre el problema de la eficacia de los diferentes métodos existentes de transmisión de la información, tanto mediante el flujo a través de hilos o cables como el aéreo, por medio de corrientes eléctricas fluctuantes o bien moduladas por la radiación electromagnética. Shannon orientó sus esfuerzos hacia la comprensión fundamental del problema y en 1948 desarrolló un método para expresar la información de forma cualitativa. Las publicaciones de Shannon en 1949 demostraron cómo se podía analizar dicha cuantificación (expresada en una magnitud que denominó bit) mediante métodos estrictamente matemáticos. Así, era posible medir la verosimilitud de la información mutilada por pérdidas de bits, distorsión de los mismos, adición de elementos extraños, etc., y hablar con precisión de términos antes vagos, como redundancia o ruido e, incluso, expresar el concepto físico de entropía como un proceso continuado de pérdida de información. Claude Elwood Shannon falleció el 24 de febrero del año 2001, a la edad de 84 años, después de una larga lucha en contra la enfermedad de Alzheimer.
ALGEBRA BOOLEANA El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana. Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iníciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados: •
Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano. •
los posibles valores de A y B. 4
•
Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C. •
C) para todos los valores booleanos A, B, y C. •
Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A. •
si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A. Para nuestros propósitos basaremos el álgebra booleana en el siguiente juego de operadores y valores: - Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos a éstos valores respectivamente como falso y verdadero. - El símbolo · representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de variables de una sola letra se eliminará el símbolo ·, por lo tanto AB representa la operación lógica AND entre las variables A y B, a esto también le llamamos el producto entre A y B. - El símbolo "+" representa la operación lógica OR, decimos que A+B es la operación lógica OR entre A y B, también llamada la suma de A y B. - El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, en éste texto utilizaremos el símbolo " ' " para denotar la negación lógica, por ejemplo, A' denota la operación lógica NOT de A. - Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el resultado de la expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor, paréntesis,
operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico OR. Tanto el operador lógico AND como el OR son asociativos por la izquierda. Si dos operadores con la misma procedencia están adyacentes, entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador lógico NOT es asociativo por la derecha.
TEOREMAS DEL ALGEBRA DE BOOLE.
Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando éstos postulados, además es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas más importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes: •
•
Teorema 2: A · A = A •
Teorema 3: A + 0 = A •
Teorema 4: A · 1 = A •
Teorema 5: A · 0 = 0 •
Teorema 6: A + 1 = 1 •
Teorema 7: (A + B)' = A' · B' •
Teorema 8: (A · B)' = A' + B' •
Teorema 9: A + A · B = A •
Teorema 10: A · (A + B) = A •
Teorema 11: A + A'B = A + B •
Teorema 12: A' · (A + B') = A'B' •
Teorema 13: AB + AB' = A •
Teorema 14: (A' + B') · (A' + B) = A' •
Teorema 15: A + A' = 1 •
Teorema 16: A · A' = 0 LÓGICA PROPOSICIONAL En lógica y matemática, la lógica proposicional es un sistema formal diseñado para analizar ciertos tipos de argumentos. En la lógica proposicional, las fórmulas representan proposiciones y las constantes lógicas son operaciones sobre las fórmulas que producen otras fórmulas de mayor complejidad. 1 Como otros sistemas lógicos, la lógica proposicional intenta esclarecer nuestra comprensión de la noción de consecuencia lógica para el rango de argumentos que analiza.
Los operadores lógicos empleados en la búsqueda de información son tres: 5
español
ingles signo
Y AND
* O OR + NO
NOT -
¿Cómo se usan?
Y: Sirve para unir uno o más elementos de búsqueda: queremos una cosa Y la otra. Por ejemplo, si en una búsqueda indicamos:
Pintores Y México Esto sirve para restringir la búsqueda, de modo que se encuentre sólo lo que sea sobre pintores Y además sobre México, necesariamente de ambas referencias (Las referencias sobre "pintores renacentistas" o sobre México Prehispánico" podrán ser eliminadas).
O: Sirve para combinar uno O más elementos. Por ejemplo: Si en la búsqueda indicamos:
Pintores O México La indicación sirve para ampliar las posibilidades de búsqueda: cualquier archivo que se refiera a Pintores O de México, no necesariamente de ambos.
NO: Sirve para excluir uno O más elementos. Por ejemplo, si en la búsqueda indicamos
NO impresionistas
CONECTORES LÓGICOS Son los signos que permiten obtener fórmulas a partir de otras fórmulas dadas. Hay cinco: negación, disyunción, conjunción, implicación y equivalencia. A continuación hay una tabla que despliega todas las conectivas lógicas que ocupan a la lógica proposicional, incluyendo ejemplos de su uso en el lenguaje natural y los símbolos que se utilizan para representarlas.
Negación no
Conjunción
y Está lloviendo y está nublado.
Disyunción
o Está lloviendo o está soleado.
Condicional material
si... entonces Si está soleado, entonces es de día.
Bicondicional si y sólo si Está nublado si y sólo si hay nubes visibles.
Ni está soleado ni está nublado.
Disyunción excluyente o bien... o bien
nublado.
como funciones que toman conjuntos de valores de verdad y devuelven valores de verdad. Por ejemplo, la constante lógica "no" es una función que si toma el valor de verdad 1, devuelve 0, y si 6
toma el valor de verdad 0, devuelve 1. Por lo tanto, si se aplica la función "no" a una letra que represente una proposición falsa, el resultado será algo verdadero. Si es falso que "está lloviendo", entonces será verdadero que "no está lloviendo". El significado de las constantes lógicas no es nada más que su comportamiento como funciones de verdad. Cada constante lógica se distingue de las otras por los valores de verdad que devuelve frente a las distintas combinaciones de valores de verdad que puede recibir.
TABLAS DE VERDAD Una tabla de verdad es una herramienta para describir la forma en que la salida de un circuito lógico depende de los niveles lógicos presentes en las entradas del circuito. Las tablas de verdad pueden tener muchas columnas, pero todas las tablas funcionan de igual forma.
Hay siempre una columna de salida (última columna a la derecha) que representa el resultado de todas las posibles combinaciones de las entradas. El número total de columnas en una tabla de verdad es la suma de las entradas que hay + 1 (la columna de la salida). El número de filas de la tabla de verdad es la cantidad de combinaciones que se pueden lograr con las entradas y es igual a 2 n , donde n es el número de columnas de la tabla de verdad (sin tomar en cuenta la columna de salida) Ejemplo: en la siguiente tabla de verdad hay 3 columnas de entrada, entonces habrán: 2 3 = 8
combinaciones (8 filas) Un circuito con 3 interruptores de entrada (con estados binarios "0" o "1"), tendrá 8 posibles combinaciones. Siendo el resultado (la columna salida) determinado por el estado de los interruptores de entrada. Los circuitos lógicos son básicamente un arreglo de interruptores, conocidos como "compuertas lógicas" (compuertas AND, NAND, OR, NOR, NOT, etc.). Cada compuerta lógica tiene su tabla de verdad.
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APLICACIONES DEL ALGEBRA DE BOOLE. La aplicación fundamental se hace cuando se construye un sistema lógico que modéliza el lenguaje natural sometiéndolo a unas reglas de formalización del lenguaje. Su aplicación puede verse en el cálculo lógico.
Una aplicación importante de las tablas de verdad procede del hecho de que, interpretando los valores lógicos de verdad como 1 y 0 (lógica positiva) en el sentido que valor "1" permite el paso de corriente eléctrica; y valor "0" corta el paso de dicha corriente. Los valores de entrada o no entrada de corriente a través de un diodo pueden producir una salida 0 ó 1 según las condiciones definidas como función según las tablas mostradas anteriormente. Así se establecen las algunas funciones básicas: AND, NAND, OR, NOR, XOR, XNOR (o NXOR), que se corresponden con las funciones definidas en las columnas 8, 9, 2, 15, 10 y 7 respectivamente, y la función NOT. En lugar de variables proposicionales, considerando las posibles entradas como EA y EB, podemos armar una tabla análoga de 16 funciones como la presentada arriba, con sus equivalentes en lógica de circuitos. Esta aplicación hace posible la construcción de aparatos capaces de realizar estas computaciones a alta velocidad, y la construcción de circuitos que utilizan este tipo de análisis se hace por medio de puertas lógicas. La utilización extendida de las compuertas lógicas, simplifica el diseño y análisis de circuitos complejos. La tecnología moderna actual permite la construcción de circuitos integrados (ICs) que se componen de miles (o millones) de compuertas lógicas. Las relaciones entrada - salida de las variables binarias para cada compuerta pueden representarse en forma tabular en una tabla de verdad. A continuación se detallan los nombres, símbolos, gráficos, funciones algebraicas, y tablas de verdad de ocho compuertas.
Compuerta AND: Cada compuerta tiene una o dos variables de entrada designadas por A y B y una salida binaria designada por x. La compuerta AND produce la unión lógica AND: esto es: la salida es 1 si la entrada A y la entrada B están ambas en el binario 1: de otra manera, la salida es 0. Estas condiciones también son especificadas en la tabla de verdad para la compuerta AND. La tabla muestra que la salida x es 1 solamente cuando ambas entradas A y B están en 1 . El símbolo de operación algebraico de la función AND es el mismo que el símbolo de la multiplicación de la aritmética ordinaria (*). Podemos utilizar o un punto entre las variables o concatenar las variables sin ningún símbolo de operación entre ellas. Las compuertas AND pueden tener más de dos entradas y por definición, la salida es 1 si cualquier entrada es 1.
Compuerta OR: La compuerta OR produce la función OR inclusiva, esto es, la salida es 1 si la entrada A o la entrada B o ambas entradas son 1; de otra manera, la salida es 0. El símbolo algebraico de la función OR (+), similar a la operación de aritmética de suma. Las compuertas OR pueden tener más de dos entradas y por definición la salida es 1 si cualquier entrada es 1.
Compuerta NOT (Inversor): El circuito inversor invierte el sentido lógico de una señal binaria. Produce el NOT,. o función complemento. El símbolo algebraico utilizado para el complemento es una barra sobra el símbolo de la variable binaria. Si la variable binaria posee un valor 0, la compuerta NOT cambia su estado al valor 1 y viceversa. El círculo pequeño en la salida de un símbolo gráfico de un inversor designa un complemento lógico. Es decir cambia los valores binarios 1 a 0 y viceversa.
Compuerta Separador: Un símbolo triángulo por sí mismo designa un circuito separador no produce ninguna función lógica particular puesto que el valor binario de la salida es el mismo de la entrada. Este circuito se utiliza simplemente para amplificación de la señal. Por ejemplo, un separador que utiliza i volt para el binario 1 producirá una salida de 3 volt cuando la entrada es 3 volt. Sin embargo, la corriente suministrada en la entrada es mucho más pequeña que la corriente producida en la salida. De ésta manera, un separador puede excitar muchas otras compuertas que requieren una cantidad mayor de corriente que de otra manera no se encontraría en la pequeña cantidad de corriente aplicada a la entrada del separador.
Compuerta NAND: Es el complemento de la función AND, como se indica por el símbolo gráfico que consiste en un símbolo gráfico AND seguido por un pequeño círculo. La designación NAND se deriva de la abreviación NOT - AND. Una designación más adecuada habría sido AND invertido puesto que Es la función AND la que se ha invertido.
Compuerta NOR: La compuerta NOR es el complemento de la compuerta OR y utiliza un símbolo gráfico OR seguido de un círculo pequeño. Tanto las compuertas NAND como la NOR pueden tener más de dos entradas, y la salida es siempre el complemento de las funciones AND u OR, respectivamente.
Compuerta OR exclusivo (XOR): La compuerta OR exclusiva tiene un símbolo gráfico similar a la compuerta OR excepto por una línea adicional curva en el lado de la entrada. La salida de esta compuerta es 1 si cada entrada es 1 pero excluye la combinación cuando las dos entradas son 1. La función OR exclusivo tiene su propio símbolo gráfico o puede expresarse en términos de operaciones complementarias AND, OR .
Compuerta NOR exclusivo (XOR):
El NOR exclusivo como se indica por el círculo pequeño en el símbolo gráfico. La salida de ésta compuerta es 1 solamente si ambas entradas son tienen el mismo valor binario. Nosotros nos referiremos a la función NOR exclusivo como la función de equivalencia. Puesto que las funciones OR exclusivo y funciones de equivalencia no son siempre el complemento la una de la otra. Un nombre más adecuado para la operación OR exclusivo sería la de una función impar; esto es, la salida es 1 si un número impar de entrada es 1. Así en una función OR (impar) exclusiva de tres entradas, la salida es 1 si solamente la entrada es 1 o si todas las entradas son 1. La función de equivalencia es una función par; esto es, su salida es 1 si un número par de entradas es 0. 9
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PROBLEMA. A un estudiante de electrónica digital le presentan el siguiente circuito y le piden que explique su significado como parte de una tarea en la escuela. El no le entiende nada y te pide a ti como alumno TSU que le auxilies en su tarea
COMPUERTAS INTERRUTORES DE ENTRADA X, Y, P INTERRUPTORES DE SALIDA Z, B COMBINACIONES BINARIAS 000
TABLA DE VERDAD X Y P Z B 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1
XOR
XOR NAND
NAND NAND
INVERSOR INVERSOR 0 0 0 RESISTENCIA CONDUCTOR 11
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS • http://www.biografiasyvidas.com/biografia/s/shannon.htm • http://www.dma.eui.upm.es/historia_informatica/Doc/Personajes/ClaudeShannon.htm • www.oocities.com/ohcop/waltz_.html • https://belenus.unirioja.es/~luespino/Boole.html • http://www.invata-mate.info/spaniola/historyDetail.htm?id=Boole • http://clubdefisicainemsp.soy.es/2009/04/08/george-boole-matematizo-las-leyes-del-pensamiento/ • http://www.google.com.mx/#q=boole&hl=es&biw=1003&bih=483&prmd=b&tbs=tl:1&tbo=u&ei=lyfE TOa1JonQsAOrhe3XCw&sa=X&oi=timeline_result&ct=title&resnum=11&ved=0CEkQ5wIwCg&fp=e d1c01f9c47126cc • http://www.uhu.es/rafael.lopezahumada/descargas/tema3_fund_0405.pdf • http://es.software.yahoo.com/fot/ftxt/karmap.html • http://www.terra.es/personal/jftjft/ algebra/boole/algboole.htm • http://www.terra.es/personal/jftjft/algebra/ boole/introduccion.htm • http://es.dir.yahoo.com/ciencia_y_tecnologia/ matematicas/algebra/algebra_de_boole/ • http://es.dir.yahoo.com/ciencia_y_tecnologia/ matematicas/algebra/algebra_de_boole • http://www.conocimientosweb.net/portal/directorio • http://www.zabalnet.com/intro/cursos/03_algebra.htm • http://www.inf.ufsc.br/ine5365/algboole.html • http://www.ncc.up.pt/~zp/aulas/9899/me/trabalhos/ alunos/circuitos_logicos/algboole.html • http://buscador.hispavista.es/logica--algebra-de-boole ROLES DE LOS MIEMBROS DEL EQUIPO Líder. Isamar González Secretario. Ruth Beltrán Cruz Secretario Del Secretario. Luis Alberto Molina Gasca Tesorero: Rigoberto Hernández Gramillo
Ayudante del tesorero: Jorge Alberto Cruz Ramos
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