Boshlang`ich funksiya haqida tushuncha. Aniqmas integral tushunchasi

Mavzu: Integrallashning uch asosiy usuli (yoyish, o`zgaruvchi almashtirish, bo`laklab integrallash).
Reja:

1. 
   Integrallash usullari haqida tushuncha.
   
2. 
   O`zgaruvchi almashtirish usuli.
   
3. 
   Bo`laklab integrallash usuli.
   

Bevosita integrallash
Bevosita integrallash deyilganda, funktsiyaning integralini to’g’ridan-to’g’ri integrallash jadvali, xossalar yoki integrallanayotgan funktsiyani almashtirish orqali integrallash tushuniladi. Bunda, xossalar hamda jadvaldagi bir nechta integrallardan ketma-ket foydalanishga ham to’g’ri keladi.
1-misol. integralni toping.
Yechilishi: 4-xossaga asosan o’zgarmas ko’paytuvchi 3 ni integral belgisi oldiga chiqaramiz, so’ngra, jadvaldagi 2-formulani qo’llaymiz. U holda,

To’g’ri yoki noto’g’ri integrallanganlikni tekshirib ko’rish uchun hosil bo’lgan ni differentsiallaymiz. Agar integral ostidagi ifoda hosil bo’lsa, integral to’g’ri topilgan bo’ladi, ya’ni:

Demak, integral to’g’ri topilgan.
O’zgaruvchilarni almashtirish
Har doim ham berilgan integralni topishda bevosita integrallash usulini qo’llash samarali natija bermaydi, yoki bo’lmasa, uni topish jarayoni nihoyatda qiyinchilik to’g’diradi. Bunday hollarda boshqacha yo’l tutishga to’g’ri keladi. Ana shunday yo’llardan biri integral ostidagi o’zgaruvchini almashtirish usulidir. Bu usul o’rniga qo’yish usuli deb ham yuritiladi. Bu usulning afzalligi shundaki, o’zgaruvchi almashtirilgandan so’ng, integrallash jarayoni yengillashadi, ya’ni oson kechadi. Biz quyida ana shunday usulni ko’rib o’tamiz.
Aniqmas integralni o’zgaruvchini almashtirish usuli bilan integrallashning mohiyati shundaki, berilgan integralni asosiy integrallash formulalarining birortasi bo’yicha oson integrallanadigan integralga keltirishdan iborat.
integralni topish uchun x o’zgaruvchini deb belgilab, yangi u o’zgaruvchi bilan almashtiramiz. Bu tenglikni differentsiallab, ni topamiz. Integral ostidagi x va dx larning o’rniga u va du larni qo’yib, quyidagini hosil qilamiz:
(1)
(1) formula yordamida integral topilgach, yangi o’zgaruvchi eski o’zgaruvchiga almashtiriladi. Demak, o’zgaruvchini almashtirish usulida integrallash uchun quyidagi bosqich ishlari amalga oshiriladi:
1. Integral ostidagi ifodaning qaysi qismini yangi o’zgaruvchi yordamida belgilashni aniqlash.
2. Yangi va eski belgilashlar tengligining ikkala qismini differentsiallash va eski o’zgaruvchining differentsialini topish.
3. Topilganlarni integral ostiga qo’yish (almashtirish).
4. Hosil bo’lgan integralni topish.
5. Eski o’zgaruvchiga qaytish.