Burilish w(X 1,X 2) chegara shartlarini qondirishi kerak

Yechim usuli. Yechim w tenglamalar) differensial operatorning chiziqliligi tufayli, deb ifodalanishi mumkin
(3)
bu yerda w_0 (1) tenglamaning o‘ng tomoni bilan ma’lum yechimi, ¯w funksiyasi esa G sohasidagi bir jinsli tenglamaning umumiy yechimidir.
w_0 sifatida siz (1) ni qanoatlantiradigan har qanday funktsiyani qabul qilishingiz mumkin. Bu erda biz dumaloq tayanchli plastinkani egish muammosi uchun elementar yechimdan foydalanamiz [2].
, (4)
¯w sifatida biz G mintaqasidan tashqarida joylashgan (ya'ni D^'∈R^2\G) va konturiga o'xshash D' (3-rasm) chiziq bo'ylab uzluksiz taqsimlangan ko'ndalang kuch va momentdan eritmani olamiz. asl plastinka. Bu qaror
(5)
где , , D^' bo'ylab joylashgan mos ravishda q(y), m(y) – (manba quvvati) y nuqtada konsentratsiyalangan yagona ko'ndalang kuch va momentdan fundamental yechimlar.

Usulni qo'llash uchun yordamchi sxema.
Asosiy echimlar ma'lum
, (6)
bu yerda , tashqi tomondan normal .
(3)-(6) dan q(y) va m(y) noma’lum funksiyalar orqali ifodalangan (1) tenglamaning yechimi ko’rinishga ega ekanligi kelib chiqadi.

w(x) funksiya (1) tenglikni to'liq qanoatlantiradi. Noma’lum funksiyalar berilgan munosabatlar (2) D chegarasida tutgan shartlar asosida aniqlanadi. Shu bilan birga, G chegaralarining shakllariga va mahkamlash turiga hech qanday cheklovlar qo'yilmaydi, ularni yoqtirish mumkin, ya'ni. bu usulning algoritmi universaldir.
(7) dagi w(x) ga mos keladigan L differensial operatorlarini qo'llab, ifodalarni olamiz , , , , Ma'lumki, bu differentsial operatorlar chiziqli:

yoki (7) orqali bizda mavjud
(8)
Shuni yodda tutgan holda, quyida har biri uchun iboralar mavjud
,
Ushbu iboralar quyidagi belgilardan foydalanadi:
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
,
А. uchun ifodalar
1^o)
2^o)
3^o)
B. uchun ifodalar
1^o)
2^o)
3^o)
C. M_n uchun ifodalar
1^o)
2^o)
3^o)
D uchun ifodalar
1^o)
2^o)
3^o)
E uchun ifodalar
1^o)
2^o)
3^o)
1o), 2o), 3o) yordamida kuchlanish-deformatsiya holatining tarkibiy qismlarining tasvirlarini olish oson. , , , ixtiyoriy funktsiyalar orqali plitalar , .
(7) ifodani chegaraviy shartlarga almashtirib, 1-turdagi ikkita integral tenglamalar sistemasini olamiz. , uzluksiz yadrolar bilan:
, (9)
yoki operator shaklida
, bu yerda K(x,y) elementlarga ega matritsadir , , ;
q, m komponentli noma’lum vektordir

chegaraviy shartlarning differentsial operatori.
(9) sistemani yechib, topilgan q(y), m(y) funksiyalarni (7) formulaga almashtirib, bu chegaraviy masala yechimini olamiz.
Integral tenglamalar sistemasining yechimi beqaror. (9) sistemaning taxminiy yechimining barqarorligi masofaga bog'liqligi [4] da ko'rsatilgan

[5] da, tartibga solish usuli yordamida barqaror eritma olish uchun texnika ishlab chiqilgan. Ushbu texnikada (9) tizimning taxminiy yechimi Tixonov funksionalini [6] minimallashtirish orqali olinadi:
,
"eng kam qoldiq printsipi" dan a regulyarizatsiya parametrini tanlash bilan.

Bu yerda integral matritsaning raqamli analogi K
u(x) vektorining raqamli analogi
, , ,
Kvadratura formulalari yordamida integral tenglamalar tizimini (9) chiziqli algebraik tenglamalar tizimiga (SLAE) va funksional minimal shartdan almashtiramiz.

algebraik tenglamalar sistemasini olamiz
(10)
Bu yerda A- tartib matritsasi ; , - mos ravishda D, D^' dagi tugunlar soni; B va D - mos ravishda D, D^' egri chiziqlardagi vektor-funksiyalarning L bo'shliqlarida skalyar ko'paytmalarning diskret analoglari kvadrat shakllarining simmetrik musbat-aniqlangan matritsalari; u, z - komponentli vektorlar , D va D^' egri chiziqlarining bo'linish nuqtalarida.
(10) tizim yechimlari shartlardan tartibga solish parametrini tanlash bilan MATLAB yordamida olinadi.

Da

bu yerda e - hisoblashning aniqligi.
Olingan z qiymatlariga va (7) formulaning raqamli analoglariga ko'ra:

plitalarning o'zboshimchalik nuqtalarida burilish qiymatini taxminan aniqlash mumkin.
Yechim algoritmi. Biz bu masalani MATLAB da sonli holda hal qilamiz.
Dasturlashda har bir chekka uchun tenglamalarni alohida yozish shart emas. Chegaraviy shart uchun parametr belgilash va algoritmni shunday tuzish kifoyaki, yuqoridagi ifodalar ushbu parametrning qiymati bo'yicha tanlanadi. Parametr qiymatlari chegaraviy shart kodidir.
Har qanday ko'rib chiqilgan egilish muammosini to'liq hal qilish uchun quyidagi ma'lumotlarni ko'rsatish kerak:
LF - chegara shartlari va egrilik bo'yicha bo'lingan chekka chiziqlar soni;
B1(I), B2(I) – I-tomonning boshlangʻich nuqtasi koordinatalari;
O1(I), O2(I) – I-chi egri chiziqli tomonning egrilik markazi;
KK(I) - plastinka chetining I-tomonining ko'rinishi:
KK(I)=0 – tekis qirrasi,
KK(I)=1 – pastga egri chiziqli qirrasi qavariq,
KK(I)=2 – yuqoriga egri chiziqli bo'rtiq;
L (I) - I-chi tomonda ko'rsatilgan chegara shartlari turi:
1 - chimchilab,
2 - erkin qo'llab-quvvatlanadi,
3 - bepul;
MN(I) – I-tomondagi nuqtalar tugunlari soni;
AN – AN=h_2/h_1 dan aniqlovchi parametr,
h_2 - qo'shimcha kontur bo'ylab qadam,
h_1 - asosiy sxema bo'yicha;
D (I) - har bir I - tomonda qo'shimcha va asosiy sxemalar orasidagi masofa;
Q - tashqi yukning intensivligi;
(M,N) - chiziqli algebraik tenglamalar tizimining natijaviy o'lchami;
HP - plastinka qalinligi;
E - elastiklik moduli;
v - Puasson nisbati.
Ushbu usulni amalga oshirish quyidagi algoritmga muvofiq amalga oshiriladi:
Ma'lumotlarni kiritish va chop etish;
Geometriya tartibi;
3. Hisob-kitoblarni tashkil etish , , , tomonidan L(I)
А)- Е); formulasi yordamida
4. SLA U (10) ning hosil bo'lishi va eritmasi;
5 qoldiqni hisoblash va tekshirish;
6. Regulyatsiya parametrini tanlash;
7. Stress-deformatsiya holatini hisoblash;
8.Natijalarni chop etish.


Xulosa. Ushbu maqolada yupqa plitalarning egilish nazariyasidagi asosiy va aralash chiziqli chegaraviy masalalarni sonli yechish texnikasi taklif etiladi. Olingan iboralar taqdim etilgan bo'lib, ular yupqa plitalarning egilishini tavsiflovchi munosabatlarning to'liq tizimini yozishga imkon beradi. Ishlab chiqilgan metodologiyani amalga oshirish algoritmlari taklif etiladi.