Buxoro davlat pedagogika instituti

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA-MAXSUS
TA’LIM VAZIRLIGI

BUXORO DAVLAT PEDAGOGIKA INSTITUTI

Boshlang’ich ta’lim va sport tarbiyaviy ishi yo’nalishi
9-1 BTU 19 guruh talabasi
RAJABOVA UMIDAning
“Boshlang’ich matematika kursi nazariyasi “fanidan bajargan

MUSTAQIL ISHI

Tekshirdi: ___________________

Buxoro-2022 yil

Mavzu:Kassini ovallari va Bernulli lemniskatasi.
Reja:
1.Kassini ovallari.
2.Bernulli lemniskatasi
3.Kassini ovallari va Bernulli lemniskatasi.

Bernulli tenglamasi — gidrodinamikaning asosiy tenglamasi. Suyuqlik oqimi barqaror (statsionar) boʻlganda suyuqlikning oqish tezligi v bilan bosimi r orasidagi munosabatni ifodalaydi. Bernulli tenglamasi ga koʻra suyuqlik koʻndalang kesimi oʻzgaruvchan gorizontal quvurdan oqayotgan boʻlsa, quvurning tor joylarida suyuqlikning tezlign kattaroq, bosimi kichikroq va, aksincha, quvurning keng joylarida bosimi kattaroq, tezligi kichikroqboʻladi. Bernulli tenglamasi gidravlika masalalarini yechishda, mas, quvurning biror koʻndalang kesimidan vaqt birligida oqib oʻtayotgan suyuqlik (yoki siqilgan gaz) miqdorini hisoblashda ishlatiladi. Buning uchun Pito naychasi yordamida suyuqlikning bosimi aniqlanadi. Bernulli tenglamasi ning gidravlika va texnika, gidrodinamikada muhim ahamiyati bor. Hajm birligidagi suyuqlik energiyasining saqlanish qonunidan foydalanib D. Berpulli chiqargan.

Kassini ovali - berilgan ikki Ft, Gʻ2 nuqtagacha boʻlgan masofalarning koʻpaytmasi MFt-MF2 oʻzgarmas boʻlgan nuqtalarning geometrik oʻrnini tasvirlovchi tekis egri chiziq. Bu oʻzgarmas a2, Ft, F2 nuqtalar orasidagi masofa 2 s deb belgilansa, K.o. ning Dekart koordinatalar tizimidagi tenglamasi (l-2+>>2)2 — 2s2(x2—u2)= =ya4—s4 koʻrinishida yoziladi. K.o. ning koʻrinishi a bilan s orasidagi munosabatga bogʻliq: 1. a>c V2 boʻlsa, K.o. — qavariq chiziq. 2. sa boʻlsa, K.o. ikkita alohida ovaldan iborat. Fransuz astronomi J. [[Kassini U nomi bilan ataladi. Bernulli qonuni – suyuqlik tezligining suyuqlik bosimiga bogʻliqligi haqidagi fikrlarning aksi. Koʻpchilik Bernulli qonuni notoʻgʻri boʻlsa kerak deb oʻylashadi, ammo bu Bernulli qonuni aslida nima deganini tushunmaslikdan boʻlishi mumkin. Bernulli qonuni quyidagicha: Bernulli qonuni: gorizontal oqayotgan suyuqlikning tezroq oqayotgan nuqtalarida bosim sekinroq oqayotgan nuqtalarga nisbatan kichik boʻladi. [Nega oqim gorizontal boʻlishi kerak?] Shunday qilib, diametri oʻzgaradigan gorizontal suv quvurining suv tez harakatlanadigan qismi suv sekin harakatlanadigan qismiga qaraganda kichikroq bosim ostida boʻladi. Bu koʻpchilikka erish tuyuladi, chunki odamlar yuqori tezlikni yuqori bosim bilan bogʻlaydi. Ammo biz keyingi boʻlimda haqiqatan ham suv ortida oldiga nisbatan kattatoq bosim boʻlsa, u tezroq harakatlanishini koʻrsatamiz. Quyidagi boʻlimda biz Bernulli tenglamasini keltirib chiqaramiz va uni tushunishga harakat qilamiz/. Bernulli tenglamasi qanday keltirib chiqariladi? Siqilmaydigan suyuqliklar oʻzgarmas hajmiy oqimni ushlab turishi uchun quvurning ingichka qismiga yetib kelganda tezlashishi kerak. Shu sababli ingichka joʻmrak quvurdagi suvning tezlashishiga olib keladi. Ammo bir narsa sizni oʻyga solayotgan boʻlishi mumkin. Agar suv siqilish paytida tezlashsa, u qoʻshimcha kinetik energiya oladi. Bu qoʻshimcha kinetik energiya qayerdan keladi? Joʻmrakdanmi? Quvurdanmi? Biror jismga kinetik energiya berish uchun uning ustida ish bajarilishi kerak. Buni ish-energiya qonuni bilan tushuntirish mumkin. W_{tashqi}=\Delta K=\dfrac{1}{2}mv_f^2-\dfrac{1}{2}mv_i^2Wtashqi​=ΔK=21​mvf2​−21​mvi2​W, start subscript, t, a, s, h, q, i, end subscript, equals, delta, K, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, v, start subscript, f, end subscript, squared, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, v, start subscript, i, end subscript, squared Shunday qilib, agar suyuqlikning biror qismi tezlashayotgan boʻlsa, suyuqlikning bu qismi uchun tashqi kuch ish bajarishi kerak. Suyuqlik ustida qanday kuch ish bajaryapti? Hayotda suyuqlik ustida manfiy ish bajarayotgan kuchlar juda koʻp, biroq biz sistemani mukammal va suyuqlik toʻliq laminar oqmoqda deb tasavvur qilamiz. Laminar (qatlamli) oqim suyuqlikning parallel qatlamlarda (oʻzaro kesishmasdan) oqishini anglatadi. Laminar oqayotgan suyuqlikda girdoblar yoki burilishlar boʻlmaydi. [Bu fikrlar qanchalik toʻgʻri?] Shuning uchun biz dissipativ kuchlar tufayli energiya yoʻqotilmaydi deb olamiz. Xoʻsh, qaysi nodissipativ kuchlarning ishi suyuqlikning tezlashishiga sabab boʻlmoqda? Atrofdagi suyuqlikning bosimi suyuqlik ustida ish bajaradi va tezlashtiruvchi kuch hosil qiladi. Quyidagi chizmada chapdan oʻngga qarab oqayotgan suv nayi koʻrsatilgan. Belgilangan suv hajmi cheklangan hududga kirishi bilan u tezlashadi. Belgilangan suvning chap tomonidagi P_1P1​P, start subscript, 1, end subscript bosimidan kelib chiqqan kuch uni oʻng tomonga itaradi va musbat ish bajaradi, chunki kuchning yoʻnalishi suyuqlik harakati bilan ustma-ust. Belgilangan suyuqlikning oʻng tomonidagi P_2P2​P, start subscript, 2, end subscript bosimidan chapga yoʻnalgan kuch hosil boʻladi va u manfiy ish bajaradi, chunki kuchning yoʻnalishi suyuqlik harakatiga qarama-qarshi. Biz bilamizki, suv tezlashishi kerak (oqim uzluksizlik tenglamasidan) va shu sababli uning ustida musbat ish bajarilishi zarur. Demak, chap tarafdagi bosim kuchi tomonidan bajarilgan ish oʻng tarafdagi bosim kuchi bajargan manfiy ishdan kattaroq boʻlishi kerak. Bu shuni anglatadiki, kengroq/sekinroq qismdagi P_1P1​P, start subscript, 1, end subscript bosim tor/tez qismdagi P_2P2​P, start subscript, 2, end subscript bosimdan kattaroq boʻlishi kerak. Suyuqlikdagi bosim va tezlik oʻrtasidagi teskari proporsionallik Bernulli qonuni deb ataladi. Bernulli qonuni: gorizontal joylashgan nay boʻylab oqayotgan suyuqlik kichik bosimli joylarda tez, katta bosimli joylarda sekin harakatlanadi. Bernulli qonuni toʻgʻrisida fikr yuritishning eng oddiy yoʻli – suyuqlik bosim katta sohadan bosim kichik sohaga oʻtganda tezlashadi, chunki natijaviy kuch harakat yoʻnalishi bilan ustma-ust tushadi. Suyuqlik tez harakat qiladigan hududlarda past bosim boʻladi degan fikr gʻalati tuyulishi mumkin. Shubhasiz, sekin harakatlanadigan suyuqlikdan koʻra tez harakatlanayotgan suyuqlik tanangizga urilganda koʻproq bosim his qilasiz, toʻgʻrimi? Ha, bu toʻgʻri. Ammo hozir gap ikki xil bosim haqida ketyapti. Bernulli qonunidagi bosim bu oqim davomida barcha yoʻnalishlarga, shu jumladan, trubaning yon tomonlariga koʻrsatiladigan ichki suyuqlik bosimi hamdir. Bu siz suyuqlikning oldiga chiqib, uning harakatini toʻxtatganingizda his qiladigan bosimdan farq qiladi. Eʼtibor bering, Bernulli qonuni tez harakatlanuvchi suyuqlik yuqori bosim hosil qila olmaydi demayapti. U shunchaki suyuqlikning sekin oqayotgan qismi xuddi shu nayda suyuqlikning tez oqadigan qismidan koʻproq bosim hosil qilishini aytgan . Bernulli tenglamasi nima? Bernulli tenglamasi asosan Bernulli qonunining yanada umumiy va matematik shakli boʻlib, u potensial energiyaning oʻzgarishini ham hisobga oladi. Biz ushbu tenglamani keyingi boʻlimda keltirib chiqaramiz, lekin undan oldin Bernulli tenglamasini koʻrib chiqib, unda nima deyilgani va uning qanday ishlatilishini tushunib olaylik. Bernulli tenglamasi har qanday ikki nuqtadagi (1 va 2) toʻxtovsiz oqayotgan suyuqlikning zichligi \rhoρrho, bosimi, tezligi va balandligini oʻzaro bogʻlaydi. Bernulli tenglamasi odatda quyidagicha yoziladi: \Large P_1+\dfrac{1}{2}\rho v^2_1+\rho gh_1=P_2+\dfrac{1}{2}\rho v^2_2+\rho gh_2P1​+21​ρv12​+ρgh1​=P2​+21​ρv22​+ρgh2​P, start subscript, 1, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 1, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 1, end subscript, equals, P, start subscript, 2, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 2, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 2, end subscript Rasmdagi P_1P1​P, start subscript, 1, end subscript, v_1v1​v, start subscript, 1, end subscript, h_1h1​h, start subscript, 1, end subscript oʻzgaruvchilar 1-nuqtadagi bosim, tezlik, va balandlikni, P_2P2​P, start subscript, 2, end subscript, v_2v2​v, start subscript, 2, end subscript va h_2h2​h, start subscript, 2, end subscript oʻzgaruvchilar esa 2-nuqtadagi bosim, tezlik va balandlikni bildiradi. Quyidagi diagrammada suyuqlikdagi ikkita nuqta (1 va 2) tasvirlangan, ammo Bernulli tenglamasi suyuqlikdagi ixtiyoriy ikki nuqta uchun oʻrinli. Bernulli tenglamasida nuqtalarni qayerdan tanlashni qanday bilasiz? Nuqtalardan biri nomaʼlum oʻzgaruvchi topilishi kerak boʻlgan joydan boʻlishi shart. Aks holda, nomaʼlumni qanday topasiz? Siz odatda ikkinchi nuqta sifatida maʼlumotlar berilgan yoki ochiq nuqtani tanlaysiz, chunki bosim atmosferaga teng ekani maʼlum P_{atm}=1{,}01\times 10^5PaPatm​=1,01×105PaP, start subscript, a, t, m, end subscript, equals, 1, comma, 01, times, 10, start superscript, 5, end superscript, P, a. Shuni esda tutingki, hhh suyuqlikning tanlangan nuqtadan erkin sirtigacha balandlikni anglatadi, siz nuqtani istalgan joydan tanlashingiz mumkin. Odatda balandlik h=0h=0h, equals, 0 sifatida ikkita nuqtadan (1 yoki 2) pastdagisini tanlash hisoblashni osonlashtiradi. PPP bu nuqtadagi bosimni anglatadi. Siz manometrik yoki mutlaq bosimni tanlashingiz mumkin, ammo qaysi bosimni tanlasangiz (gidrostatik yoki absolyut), tenglamaning boshqa tomonida ham shuni ishlatish kerak. Siz 1-nuqtada manometrik bosim va 2-nuqtada absolyut bosimni qoʻya olmaysiz. Xuddi shunga oʻxshab, agar 1-nuqtaga gidrostatik bosimni qoʻyib, 2-nuqtada bosimni topsangiz, siz qoʻlga kiritgan qiymat 2-nuqtadagi gidrostatik bosim oʻlchovi boʻladi (absolyut bosim emas). Bernulli tenglamasidagi \dfrac{1}{2}\rho v^221​ρv2start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, squared va \rho ghρghrho, g, h hadlari xuddi kinetik energiya \dfrac{1}{2}m v^221​mv2start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, v, squared va potensial energiya mghmghm, g, h kabi faqat massa mmm zichlik \rhoρrho bilan almashtirilgan. Shu sababli Bernulli tenglamasi oqayotgan suyuqlik uchun energiyaning saqlanish qonuni qoʻllanishidan kelib chiqishi ajablanarli emas. Keyingi boʻlimda energiyaning saqlanish qonuni yordamida Bernulli tenglamasini keltirib chiqaramiz.Bernulli tenglamasi qanday keltirib chiqariladi?Quyidagi koʻndalang kesim yuzi va balandligi oʻzgaradigan quvurda chapdan oʻngga harakatlanayotgan suyuqlik bilan bogʻliq holatni koʻrib chiqing. Yuqorida kuzatganimizdek, quvur kichraygan qismda suyuqlik tezlashadi va kinetik energiya KKK oladi, siqilgan qismlar yuqoriga qarab harakat qilsa ham, siqib boʻlmaydigan suyuqlik uchun hajmiy oqim oʻzgarmas qolishi kerak. Ammo endi siqishga intilish suyuqlikning yuqoriga qarab harakatlanishiga olib kelgani sababli suv potensial energiya U_gUg​U, start subscript, g, end subscript va kinetik energiya KKK oladi. Suyuqlik olgan energiyani suyuqlik ustida bajarilgan tashqi kuchlar ishiga tenglashtirib Bernulli tenglamasini keltirib chiqaramiz. Aytaylik, biz koʻrib chiqayotgan sistema 1 va 2 suv hajmidan va shu hajmlar orasidagi suyuqlikdan iborat. Agar suyuqlik laminar, yopishqoq boʻlmagan va suyuqlik oqimiga taʼsir qiladigan hech qanday qarshi kuchlar mavjud emas deb olsak, tizimga \Delta ({K+U})_{sistema}Δ(K+U)sistema​delta, left parenthesis, K, plus, U, right parenthesis, start subscript, s, i, s, t, e, m, a, end subscript dan tashqari qoʻshilgan ixtiyoriy energiya (W_{tashqi})(Wtashqi​)left parenthesis, W, start subscript, t, a, s, h, q, i, end subscript, right parenthesis atrofidagi bosim kuchlari suyuqlik ustida bajargan tashqi ishi tufayli yuzaga keladiBiz buni matematik nuqtayi nazardan quyidagicha ifodalashimiz mumkin, W_{tashqi} = \Delta ({K+U})_{sistema}Wtashqi​=Δ(K+U)sistema​W, start subscript, t, a, s, h, q, i, end subscript, equals, delta, left parenthesis, K, plus, U, right parenthesis, start subscript, s, i, s, t, e, m, a, end subscript Dastlab biz suv ustida bajarilgan tashqi ish W_{tashqi}Wtashqi​W, start subscript, t, a, s, h, q, i, end subscript ni topishga harakat qilamiz. 1- va 2-nuqtalar orasidagi suv tashqi ish bajara olmaydi, chunki bu sistemamizning tarkibiy qismidir. Sistemada ustida tashqi ish bajara oladigan bosim chizmada koʻrsatilganidek P_1P1​P, start subscript, 1, end subscript va P_2P2​P, start subscript, 2, end subscript bosimdir. 1-nuqtadagi suvning chap tomonida joylashgan P_1P1​P, start subscript, 1, end subscript bosim musbat ish bajaradi, chunki bosim kuchi suyuqlik harakati bilan bir xil yoʻnalgan. 2-nuqtadagi suvning oʻng tomonidagi P_2P2​P, start subscript, 2, end subscript bosim manfiy ish bajaradi, chunki uning taʼsir kuchi suyuqlikning harakatiga qarama-qarshi. Chapdan taʼsir qilayotgan bosim kuchi 1-nuqtadagi suvni d_1d1​d, start subscript, 1, end subscript masofa boʻylab surdi deb olaylik. Suyuqlik siqilmaydigan boʻlgani sababli quvurdagi barcha suv xuddi shu hajmga koʻchadi, shunda 2-nuqtadagi suv d_2d2​d, start subscript, 2, end subscript masofaga siljiydi. Bunda bajarilgan ishni W=FdW=FdW, equals, F, d bilan topish mumkin. Bosim kuchi formulasi F=PAF=PAF, equals, P, A ni qoʻyib quyidagi formula W=PAdW=PAdW, equals, P, A, d ni hosil qilishimiz mumkin. Shunda 1-nuqtadagi suv tomonidan bajarilgan musbat ish W_1=P_1A_1d_1W1​=P1​A1​d1​W, start subscript, 1, end subscript, equals, P, start subscript, 1, end subscript, A, start subscript, 1, end subscript, d, start subscript, 1, end subscript ga va ikkinchi nuqtadagi suv tomonidan bajarilgan ish W_2=-P_2A_2d_2W2​=−P2​A2​d2​W, start subscript, 2, end subscript, equals, minus, P, start subscript, 2, end subscript, A, start subscript, 2, end subscript, d,. Endi tenglamaning oʻng tomonini soddalashtirishimiz kerak. Bu keltirib chiqarishning muhim va nozik qismidir. Yodda tuting, sistemamizga nafaqat 1 va 2-qismlardagi suv, balki shu ikki nuqta orasidagi suv ham kiradi. Katta yopiq sistema qismlarining kinetik va potensial energiyasidagi barcha oʻzgarishlarni qanday qilib hisoblaymiz? Keltirib chiqarishni tugatish uchun yana bir taxminiy faraz qilishimiz kerak. Biz suyuqlik oqimi bir tekis deb olamiz. “Bir tekis” deganda suyuqlikning quvurdagi maʼlum bir nuqtadan oʻtayotgan tezligi oʻzgarmasligi nazarda tutiladi. Boshqacha qilib aytganda, agar shaffof quvurning biron-bir qismiga tikilib qarasangiz, har lahzada koʻzingiz oldidan oʻtib ketayotgan yangi suvni koʻrasiz, lekin oqim bir tekis boʻlsa, u holda oldingizdan oʻtayotgan suvning mos nuqtalari bir xil tezlikda harakat qiladi Shunday qilib, bir tekis oqish tushunchasi suyuqlik sistemasidagi energiya oʻzgarishini aniqlashga qanday yordam beradi? Quyidagi rasmni koʻrib chiqing. Bizning sistemamiz kulrangga boʻyalgan suyuqlikdan iborat (1-hajm, 2-hajm va ular orasidagi suyuqlik).Birinchi rasmda sistema qandaydir (K+U)_{boshlangʻich}(K+U) parenthesis, K, plus, U, right parenthesis, start subscript, b, o, s, h, l, a, n, g, ʻ, i, c, h, end subscript umumiy energiyaga ega. Ikkinchi rasmda sistema ustida ish bajariladi, natijada u energiya oladi, oʻng tomonga siljiydi va sistema har xil umumiy energiya (K+U)_{oxirgi}(K+U)oxirgi parenthesis, K, plus, U, right parenthesis, start subscript, o, x, i, r, g, i, end subscript ga ega boʻladi. Ammo suyuqlik energiyasi uning ustida ish bajarilishidan oldin va keyin bir xil boʻladi. Chizilgan chiziqlar orasidagi sohada suvning joylashishi va tezligi oʻzgaradi, lekin u shunday oʻzgaradiki, oldingi suv bilan bir xil balandlikda va tezlikda (masalan, v_ava​v, start subscript, a, end subscript va v_bvb​v, start subscript, b, end subscript) boʻlgandek tuyuladi. Bizning sistemamizda farq qiladigan narsa shuki, 2-qism endi quvurning oldingi suyuqlik boʻlmagan qismiga oʻtadi va hozir bizning sistemada hech narsa 1-qismning orqasidagi sohani egallamaydi. Endi biz bajarishimiz kerak boʻladigan narsa – bu 2-nuqtadagi P_2P2​P, start subscript, 2, end subscript bosimni aniqlash. 2-nuqtadagi bosim atmosfera bosimiga teng boʻlishi kerak deyishimiz mumkin, chunki suv ochiq atmosferada turibdi. Bu – Bernulli tenglamasiga doir koʻplab masalalarda eʼtiborga olinishi kerak boʻladigan gipoteza. Har qanday nuqta ochiq atmosferada boʻlganda, uning bosimi atmosfera bosimiga teng. Bernulli tenglamasida biz mutlaq bosim P_2=1{,}01\times10^5 PaP2​=1,01×105PaP, start subscript, 2, end subscript, equals, 1, comma, 01, times, 10, start superscript, 5, end superscript, P, a dan yoki manometrik bosim P_2=0P2​=0P, start subscript, 2, end subscript, equals, 0 dan foydalanishimiz mumkin (chunki manometrik bosim atmosfera bosimidan yuqori bosim). Har doim nollarni kiritishimiz mumkin, bu bizning ishimizni osonlashtiradi, shuning uchun biz manometrik bosim P_2=0P2​=0P, start subscript, 2, end subscript, equals, 0 dan foydalanamiz. Bu bizning oʻzgartirilgan Bernulli tenglamamizni quyidagicha koʻrinishga keltiradi: P_1=\dfrac{1}{2}\rho (32\text{ m/s})^2+\rho g(9{,}75\text{ m})-\dfrac{1}{2}\rho (3{,}56\text{ m/s})^2 \quad\text{($P_2=0$ ni keltirib qoʻydik)}P1​=21​ρ(32 m/s)2+ρg(9,75 m)−21​ρ(3,56 m/s)2(P2 ni keltirib qoʻydik)P, start subscript, 1 end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, left parenthesis, 32, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared, plus, rho, g, left parenthesis, 9, comma, 75, start text, space, m, end text, right parenthesis, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, left parenthesis, 3, comma, 56, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared, start text, left parenthesis, P, start subscript, 2, end subscript, equals, 0, space, n, i, space, k, e, l, t, i, r, i, b, space, q, o, ʻ, y, d, i, k, right parenthesis, end text Endi suvning zichligi \rho=1 000 \dfrac{kg}{m^3}ρ=1000m3kg​rho, equals, 1000, start fraction, k, g, divided by, m, cubed, end fraction va erkin tushish tezlanishi g=+9{,}8\dfrac{m}{s^2}g=+9,8s2m​g, equals, plus, 9, comma, 8, start fraction, m, divided by, s, squared, end fraction ning son qiymatlarini keltirib qoʻyamizn, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, 1000, start fraction, k, g, divided by, m, cubed, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 32, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, 1000, start fraction, k, g, divided by, m, cubed, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, plus, 9, comma, 8, start fraction, m, divided by, s, squared, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 9, comma, 75, start text, space, m, end text, right parenthesis, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left
FOYDALANILGAN ADADBIYOTLAR:

1. Bekboyeva N.M., Adambekova G.A. “Boshlang’ich sinflarda matematika o’qitish metodikasi” Toshkent o’qituvchi 2016 yil

   
   

2. Jumayev M.E., Tojiyeva Z.G. “Boshlang’ich sinflarda matematika o’qitish metodikasi” Toshkent fan va texnalogiya 2015 yil

   
   

3. Ismoilova D. Va boshqalar “Boshlang’ich sinflarda matematika o’qitish metodikasi” Ma’ruzalar matni Termiz 2015 yil

   
   

4. Jumayev M.E. “Boshlang’ich sinflarda matematika o’qitish metodikasidan laboratoriya mashg’uloti” Toshkent: “Yangi asr avlodi” 2006 yil

   
   
5. 
   
   5. Yosh matematik qomusiy lug‘ati. Toshkent. «O‘zbekiston ensiklopediyasi», 2011.