Buxoro davlat universiteti
Matematik kutilishning xossalari
Download 1.7 Mb. Pdf ko'rish
|
bazi muhim taqsimotlarning sonli xarakteristikalari
|
Matematik kutilishning xossalari. 1-xossa: O’zgarmas miqdorning matematik kutilishi shu o’zgarmasning o’ziga teng.
M(C)=C Isboti: C o’zgarmasni mumkin bo’lgan 1 ta C qiymatga ega bo’lgan va uni p=1 ehtimol bilan qabul qiluvchi diskret tasodifiy miqdor sifatida ko’ramiz. Demak, M(C)=C 1=C 2-xossa: O’zgarmas ko’paytuvchini matematik kutilish belgisidan tashqariga chiqarish mumkin: M(CX)=C M(X)
berilgan bo’lsin: 15
X x 1 x 2 … x n P p 1 p 2 … p n
1-eslatmani inobatga olib, CX tasodifiy miqdorningtaqsimot qonunini yozamiz:
CX cx 1 cx 2 … cx n P p 1 p 2 … p n CX tasodifiy miqdorning matematik kutilishi:
Shunday qilib, M(CX)=CM(X) 3-xossa: Ikkita erkli Z va Y tasodifiy miqdorlar ko’paytmasining matematik kutishi ularning matematik kutilishlari ko’paytmasiga teng. Ya’ni: M(XY)=M(X) M(Y) Isboti: X va Y erkli tasodifiy miqdorlar o’zlarining taqsimot qonunlari bilan berilgan bo’lsin:
16
X, Y tasodifiy miqdor qabul qilishi kerak bo’lgan barcha qiymatlarni tuzib chiqaylik, buning uchun X ning mumkin bo’lgan barcha qiymatlarini Y ning mumkin bo’lgan har bir qiymatiga ko’paytirib chiqamiz, natijada larni hosil qilamiz:
Matematik kutilish mumkin bo’gan barcha qiymatlarini ularning ehtimollariga ko’paytmalari yig’indisiga teng:
yoki:
Natija: Bir nechta o’zaro erkli tasodifiy miqdorlar ko’paytmasining matematik kutilishi ularning matematik kutilishlari ko’paytmasiga teng. Masalan, uchta tasodifiy miqdorlar uchun quyidagicha bo’ladi:
M(XYZ)=M(XY Z)=M(XY) M(Z)=M(X) M(Y) M(Z) . Ixtiyoriy sondagi tasodifiy miqdorlar uchun isbot matematik induksiya metodi bilan olib boriladi.
qo’shiluvchilarning matematik kutilishlari yig’indisiga teng. M(X+Y)=M(X)+M(Y) 17
Isboti: X va Y ning barcha mumkin bo’lgan qiymatlarini tuzamiz, buning uchun X ning mumkin bo’lgan har bir qiymatiga Y ning mumkin bo’lgan har bir qiymatini qo’shamiz: larni hosil qilamiz. Bu qiymatlarning ehtimollarini mos ravishda orqali belgilaymiz. miqdorning miqdorning matematik kutilishi mumkin bo’lgan qiymatlarni ularning ehtimollariga ko’paytmalari yig’indisiga teng:
.
(*)
ekanliginiisbotlaymiz. X tasodifiy miqdor qiymatni qabul qilish hodisasi (bu hodisani ehtimoli ga teng) tasodifiy miqdor yoki qiymatni qabul qilish hodisasini ergashtiradi va aksincha. Bundan tenglik kelib chiqadi. Ushbu
Tengliklar ham shunga o’xshash isbotlanadi. Bu tengliklarning o’ng tomonlarini (*) munosabatga qo’yib, quyidagini hosil qilamiz.
Yoki uzil kesil.
M(X+Y)=M(X)+M(Y) 18
Natija: Bir nechta tasodifiy miqdorlar yig’indisining matematik kutilishi qo’shiluvchilar matematik kutilishining yig’indisiga teng. Masalan, uchta qo’shiluvchi uchun quyidagini hosil qilamiz
M(X+Y+Z)=M[(X+Y)+Z]=M(X+Y)+M(Z)=M(X)+M(Y)+M(Z) Ixtiyoriy sondagi qo’shiluvchilar uchun isbot matematik induksiya metodi bilan olib boriladi. Tasodifiy miqdorni o’zining matematik kutilishidan chetlanishi. Aytaylik, X-tasodifiy miqdor, M(X) uning matematik kutilishi bo’lsin. Yangi tasodofiy miqdor sifatida X-M(X) ayirmani qaraylik: Chetlanish deb, tasodifiy miqdor bilan uning matematik kutilishi orasidagi farqqa aytiladi. X ning taqsimot qonunu ma’lum bo’lsin:
Chetlanishning taqsimot qonunini yozamiz: chetlanish qiymatqabulqilishiuchuntasodifiymiqdor qiymat qabul qilishi kifoya.Bu hodisaning ehtimoli esa gateng .Demak, chetlanishning ham qiymat qabul qilish ehtimoli ga teng.
Chetlanishning boshqa mumkin bo’lgan qiymatlari uchun ham yuqoridagiga o’xsash mulohazalar o’rinli.
Chetlanish quyidagi taqsimot qonuniga ega:
19
1.1.1-teorema: Chetlanishning matematik kutilishi nolga teng.
. Isboti: Matematik kutilishning xossalaridan ( ayirmaning matematik kutilishi matematik kutilishlar ayirmasiga teng. O’zgarmas sonning matematik kutilishi o’sha o’zgarmasning o’ziga teng.)foydalanib va o’zgarmas ekanligini nazarda tutib, quyidagi ifodani hosil qilamiz :
Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi.
Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi , ya’ni tarqoqligi deb, tasodifiy miqdorni o’zining matematik kutilishidan chetlanishi kvadratining matematik kutilishiga aytiladi. Ya’ni:
Tasodifiy miqdor quyidagi tasodifiy miqdor bilan berilgan bo’lsin: X x 1 x 2 … x n P p 1 p 2 … p n
U holda chetlanish kvadrati quyidagi taqsimot qonuniga ega bo’ladi:
20
Ta’rifga ko’ra dispersiya quyidagi ifodaga teng bo’ladi:
. Dispersiyani hisoblash uchun chetlanish kvadratining mumkin bo’lgan qiymatini ularning ehtimollariga ko’paytmalari yig’indisini hisoblash kifoya.
1-xossa:C o’zgarmas miqdorning dispersiyasi nolga teng.
Isboti: Dispersiya ta’rifiga ko’ra,
Demak,
2-xossa: O’zgarmas ko’paytuvchini kvadratga oshirib, dispersiya belgisidan tashqariga chiqarish mumkin:
Isboti: Dispersiya ta'rifiga ko'ra:
21
Matematik kutilishning ikkinchi xossasidan (o’zgarmas ko’paytuvchini matematik kutilish belgisidan tashqariga chiqarish mumkin) foydalanib, yuqoridagini hosil qilamiz. Shunday qilib, ekanligi kelib chiqadi. Agar,
>1 bo’lsa. miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlari (absolyut qiymat bo’yicha) miqdorning qiymatlaridan katta bo’lishini e’tiborga olsak, bu xossa tushunarli bo’ladi. Bundan qiymatlarining matematik kutilish atrofida tarqoqligidan ko’proq bo’lishi, ya’ni kelib chiqadi.
Aksincha, agar 1 0 C bo’lsa, u holda bo’ladi.
miqdorlar dispersiyalarining yig’indisiga teng:
Isboti. Dispersiyani hisoblash formulasi bo’yicha:
Qavslarni ochib hamdabir nechta miqdorlar yig’indisining va ikkita erkli tasodifiy miqdor ko’paytmasi matematik kutilishlari xossalaridan foydalanib, quyidagini hosil qilamiz:
Shunday qilib, 22
1-natija.Bir nechta o’zaro erkli tasodifiy miqdorlarning dispersiyalari yig'indisiga teng.
Masalan, uchta qo’shiluvchilar uchunesa quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
Ixtiyoriy sondagi qo’shiluvchilar uchun isbot matematik induksiya metodi bilan olib boriladi. 2-natija. O’zgarmas miqdor bilan tasodifiy miqdor yig’indisining dispersiyasi tasodifiy miqdorning tasodifiy miqdorning dispersiyasiga teng:
Isboti. C va X miqdorlar o’zaro erkli, shuning uchun uchinchi xossaga asosan:
Birinchi xossaga asosan ekanligidan foydalanamiz: Demak,
miqdorlar faqat sanoq boshi bilan farq qilishi, va demak, ular o’zlarining matematik kutilishlari atrofida bir xil tarqoqligini e’tiborga olsak, xossaga tushunarli bo’ladi. 23
4-xossa: Ikkita erkli tasodifiy miqdor ayirmasining dispersiyasi ularning dispersiyalari yig’indisiga teng: .
Isboti. Uchinchi xossaga asosan:
Ikkinchi xossaga asosan:
Yoki
O’rtacha kvadratik chetlanish.
Tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlarini uning o’rtacha qiymati atrofida tarqoqligini baholash uchun dispersiyadan tashqari yana ba’zi-bir boshqa xarakteristikalar ham xizmat qiladi. Ular jumlasiga o’rtacha kvadratik chetlanish kiradi.
tasodifiy miqdorning o’rtacha kvadratik chetlanishi deb, dispersiyadan olinga kvadrat ildizga aytiladi:
Dispersiyaning o’lchamligi tasodifiy miqdor o’lchamligining kvadratiga tengligini ko’rsatish qiyin emas.O’rtacha kvadratik chetlanish dispersiyadan
24
olingan kvadrat ildizga teng bo’lgani uchun ning o’lchamligi ning
o’lchamligi bilan bir xil bo’ladi.Shu sababli tarqoqlik bahosi o’lchamligi bilan bir xil bo’lishi maqsadga muvofiq bo’lgan hollarda dispersiya emas, balki o’rtacha kvadratik chetlanish hisoblanadi.Masalan, chiziqli metrlarda o’lchansa, u holda ham chiziqli metrlarda o’lchanadi. Agar tasodifiy miqdor qiymatlarni
Ehtimollik bilan qabul
qilsa, bu
tasodifiy miqdor
Binomial qonun
bo’yichataqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi.
Uning taqsimot funksiyasi quyidagiga teng bo’ladi:
Uzluksiz tasodifiy miqdor uchun diskret tasodifiy miqdor kabi taqsimot qatorini aniqlab bo’lmaydi, chunki uzluksiz tasodifiy miqdor chekli yoki cheksiz oraliqning har bir qiymatini qabul qilishi mumkin va bunday qiymatlar soni sanoqsiz. Shu sabab uzluksiz tasodifiy miqdorlarni tasvirlashda va o’rganishda taqsimot va zichlik funksiyalaridan foydalaniladi.
Barcha
lar uchun tasodifiy (diskret va uzluksiz) miqdorning dan kichik qiymat qabul qilish ehtimoli kabi aniqlanadigan
funksiyaga tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi deyiladi. Taqsimot funksiyaning xossalari. 1-xossa: Taqsimot funksiyasining o’zgarish sohasi quyidagicha bo’ladi: 25
2-xossa: tasodifiy miqdorning oraliqdan qiymat qabul qilish ehtimoli quyidagicha bo’ladi:
3-xossa: kamaymaydigan funksiya ya’ni agar bo’lsa, u holda quyidagicha bo’ladi:
4-xossa:Quyidagi tengliklar o’rinlibo’ladi:
5-xossa: Uzluksiz tasodifiy miqdor uchun miqdoriy a da quyidagicha ifodalanadi:
bo’ladi va quyidagi tengliklar o’rinli bo’ladi:
26
uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasidan olingan hosila tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi ga aytiladi, ya’ni:
Zichlik funksiyasi xossalari. 1-xossa: kamaymaydigan funksiya bo’lgani uchun bo’ladi.
tenglik bilan aniqlanadi:
3-xossa: tasodifiy miqdorning oraliqdan qiymat qabul qilish ehtimolligi quyidagiga teng bo’ladi:
4-xossa:Zichlik funksiyasidan oraliq bo’yicha zichlik funksiyasidan olingan integral birga teng:
Tasodifiy miqdor o’zining taqsimot funksiyasi yoki zichlik funksiyasi f(x) bilan bir qiymatli aniqlanadi.
Binomial taqsimotning grafigi quyidagicha bo’ladi: 27
X=m 0 1 2 …… M ….. n } { m X P P m n q
1 1 1 n n q p C
2 2 2 n n q p C …….
m n n m n q p C
….. n p
Bu ifoda Nyuton binomidan kelib chiqadi, ya’ni:
n va p parametrli binomial qonun bo’yicha taqsimlangan diskret tasodifiy miqdor.
Endi, binomial qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalarini hisoblaymiz. 28
Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini hisoblaymiz:
Diskret tasodifiy miqdorlarning matematik kutilishi deb, uning barcha mumkin bo’lgan qiymatlarini mos ehtimollarga ko;paytmalari yig’indisiga aytiladi.
tasodifiy miqdor faqat qiymatlarni mos ravishda
ehtimollar bilan qabul qilsin. U holda tasodifiy miqdorning matematik kutilishi quyidagi tenglik bilan aniqlanadi:
Eslatma. Ta’rifga ko’ra, diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi tasodifiy bo’lmagan (o’zgarmas) miqdordir.
Demak, biz binomial taqsimotning matematik kutilmasini hisoblash uchun quyidagidan foydalanamiz.
Bu ifodani yoyib yozsak quyidagicha bo’ladi:
ekanligi kelib chiqadi.
Demak, buni quyidagidek ifodalaymiz: 29
Bundan ko’rinadiki, binomial taqsimotning matematik kutilmasi
. ga teng bo’ladi. Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi.
Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi (tarqoqligi) deb, tasodifiy miqdorni o’zining matematik kutilishidan chetlanishi kvadratining matematik kutilishiga aytiladi va
u quyidagi ifodaga teng
bo’ladi: ya'ni:
Binomial qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning dispersiyasini hisoblash uchun quyidagilardan foydalanamiz:
30
Demak, binomial taqsimotning sonly xarakteristikalarini hisoblaganda uning matematik kutilmasi M(X) va dispersiyasi D(X) quyidagilarga teng bo’lar ekan :
1.2 Puasson qonuni bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor . 1.2.1-ta’rif: Agar tasodifiy miqdor m ,...,
2 , 1 , 0 qiymatlarni 31
m m X P P m m ! } { .
Ehtimolliklar bilan qabul qilsa, puasson qonuni bo’yicha taqsimlangan diskret tasodifiy miqdor deyiladi. Pussson taqsimotining taqsimot qonuni. x=m
0 1 2 …… m
} {
x P P m e ! 1 e ! 2 2 e …… e m m !
……
(**) (**) ifodani Teylor qatoriga yoyganda ifoda gat eng bo’lib qoladi.
) ( X parametrli puasson qonuni bo’yicha taqsimlangan X diskret tasodifiy miqdor .
32
kabi ifodalanadi. Uning grafigi quyidagicha bo’ladi:
Endi puasson taqsimotining sonli xarakteristikalari, ya’ni matematik kutilmasiva dispersiyasini hisoblaymiz. 1. Puasson taqsimotining matematik kutilmasi quyidagicha ifodalanadi:
33
Demak, puasson taqsimotining matematik kutilmasi quyidagiga teng bo’lar ekan.
Download 1.7 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|