Buxoro davlat universiteti

2.2  Normal taqsimlangan tasodifiy miqdor. 

Normal  taqsimot  ehtimollar  nazariyasida  o’ziga  xos  o’rin  tutadi.Normal 

taqsimotning  xususiyati  shundan  iboratki,  Ulimit  taqsimot  hisoblanadi.Ya’ni, 

boshqa  taqsimotlar  boshqa  shartlarostida  bu  taqsimotga  intiladi.Normal  taqsimot 

amaliyotda eng ko’p qo’llaniladigan taqsimot hisoblanadi. 

X  uzluksiz  tasodifiy  miqdor  normal  qonun  bo’yicha  taqsimlangan  deyiladi, 

agar uning zichlik funksiyasi quyidagi ko’rinishga ega bo’lsa: 

 

 

 

a va 

parametrlar bo’yicha normal taqsimot  N(a;  ) orqali ifodalanadi. X

⌷

N(a; σ) normal taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasiquyidagicha 

bo’ladi: 

58 

 

 

 

 

Agar normal taqsimot parametrlari  a=0, 

bo’lsa, u standart normal 

taqsimot  deyiladi.  Standart  normal  taqsimotning  zichlik  funksiyasi  quyidagi 

ko’rinishda bo’ladi 

 

 

 

Normal  taqsimlangan  tasodifiy  miqdorning    taqsimot  funksiyasi  quyidagiga 

teng: 

 

ko’rinishga ega va u Laplas funksiyasi deyiladi. 

Buning  uchun      X

⌷N(

)  tasodifiy  miqdorning  matematik  kutilmasi  va 

dispersiyasini hisoblaymiz: 

 

 

 

59 

 

Birinchi  integral  nolga  teng,  chunki  integral  ostidagi  funksiya  toq, 

integrallash chegarasi esa nolga nisbatan simmetrikdir. 

Ikkinchi integral esa  Puasson integrali deyiladi. 

 

 

 

Shunday  qilib,  a  parametr  matematik  kutilmani  bildirar  ekan.  Dispersiyani 

hisoblashda 

 

 

 

almashtirish va bo’laklab integrallashdan foydalanamiz: 

 

 

 

Demak, 

o’rtacha kvadratik tarqoqlikni bildirar ekan. Quyidagi 

rasmda  

    larning turli qiymatlarida normal taqsimot grafigining 

o’zgarishi tasvirlangan: 

 

60 

 

 

 

X

  ya’ni normal taqsimlangan tasodifiy miqdorning  (

)  

intervalga tegishli ehtimolligini hisoblaymiz. Oldingi mavzulardan ma’lumki: 

 

 

 

Laplas funksiyasidan foydalanib, quyidagiga ega bo’lamiz: 

 

 

61 

 

 

Normal  taqsimlangan  tasodifiy  miqdorning  taqsimot  funksiyasini    Laplas 

funksiyasi orqali quyidagicha ifodalasa bo’ladi: 

 

 

 

Agar  Laplas funksiyasi: 

 

 

 

bo’lsa, u holda: 

 

 

 

va  (3) formulani quyidagicha yozish mumkin: 

 

 

 

Amaliyotda  ko’p  hollarda  normal  taqsimlangan  tasodifiy  miqdorning  a  ga 

nisbatan  simmetrik  bo’lgan  intervalga  tushish  ehtimolligini  hisoblashga  to’g’ri 

keladi. Uzunligi 2l ga teng bo’lgan (a-l; a+l) intervalni olaylik , u holda: 

 

62 

 

 

bo’ladi. 

Demak,  

 

 

(6) da 

 

 

 

 

bo’ladi. 

 funksiyaning qiymatlar jadvalidan 

   topamiz. U holda 

 bo’ladi.  Bundan  quyidagimuhim  natijaga  ega 

bo’lamiz: 

Agar 

 bo’lsa, 

u 

holda 

uning 

matematik 

kutilishidan 

chetlanishiningabsolyut 

qiymati 

o’rtacha 

kvadratik 

tarqoqligining 

uchlanganligidan  kata  bo’lmaydi.Bu  qoida  “Uch  sigma  qoidasi”deyiladi.  Uning 

grafigi quyidagicha tasvirlanadi: 

 

 

63 

 

 

 

2.3 Ko’rsatgichli taqsimlangan tasodifiy miqdor. 

5-ta’rif: Agar uzluksiz X tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi  

 

 

 

ko’rinishda  berilgan  bo’lsa,  X  tasodifiy  miqdor  ko’rsatgichli  qonun  bo’yicha 

taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi. 

parametrli ko’rsatgichli qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy 

miqdor deyiladi. Bu yerda λ biror musbat son. 

Ko’rsatgichli  taqsimlangan  tasodifiy  miqdorning  zichlik  funksiya  grafigi 

quyidagicha tasvirlanadi: 

 

 

64 

 

 

 

 

 

Ko’rsatgichli  taqsimlangan  tasodifiy  miqdorning  taqsimot  funksiyasi 

quyidagi ko’rinishda bo’ladi: 

 

 

 

Ko’rsatgichli  taqsimlangan  tasodifiy  miqdorning  taqsimot  funksiya  grafigi 

quyidagicha tasvirlanadi: 

 

 

 

 

 

 

65 

 

 

 

Endi,  ko’rsatgichli  taqsimotning  sonli  xarakteristikalari,  ya’ni  uning 

matematik kutilmasi va dispersiyasini hisoblaymiz. 

Matematik kutilma. 

 

 

,    

 

 

 

 

Dispersiya. 

66 

 

 

 

 

 

Demak,  ko’rsatgichli  taqsimlangan  tasodifiy  miqdorning  matematik  kutilmasi  va 

dispersiyasi quyidagiga teng: 

 

 

 

Ko’rsatgichli  taqsimlangan  tasodifiy  miqdorning  o’rtacha  kvadratik 

chetlanishi quyidagiga teng bo’ladi: 

 

 

 

67 

 

                                              2.4  Misollar. 

1-masala.  X tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasiquyidagiga teng bo’lsa, 

 

 

 

Bu tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi, dispersiyasi va o’rtacha kvadratik  

chetlanishini hisoblang. 

Yechish:Matematik kutilishning ta’rifiga asosan: 

 

Endi esa dispersiyani hisoblash formulasiga asosan quyidagini hosil qilamiz: 

 

O’rtacha kvadratik chetlanishni hisoblaymiz: 

 

ADABIYOTLAR 

1. I.A. Karimov, Inson baxt uchun tug’iladi, Toshkent, ”Ma’naviyat”, 2001 y. 

2. I.A. Karimov, Tarixiy xotirasiz  kelajak yo’q, O’zbekiston, ”Ma’naviyat”,  

1998  y. 

68 

 

3. С.Х. Сирожиддинов,  М.М. Маматов, Эҳтимоллар назарияси ва математик 

статистика, “Ўқитувчи”, Тошкент, 1980 й. 

5. Sh.Q. Farmonov,  R.M. Turg’unboyev,  L.D. Sharipova,  N.T. Parpiyeva, 

Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika, “Tafakkur-Bo’stoni”, Toshkent, 

2012 y. 

6. A.A. Abdushukurov,  N.S. Nurmuhammedova,  F.S. Sagidullayev,  Ehtimollar 

nazariyasi matematik statistika (Parametrlarni baholash va gipotezalarni tekshirish), 

“Universitet”,  Toshkent, 2010 y. 

7.  В.Е. Гмурман,  Эҳтимоллар назарияси ва математик статистика, 

«Ўқитувчи», Тошкент, 1977 й. 

8.  A.S. Rasulov, G.M. Raimova, X.K. Sarimsakova, Ehtimollar nazariyasi va 

matematik statistika, “O’zbekiston faylasuflari milliy jamiyati”, Toshkent, 2006 y. 

9.  S.F. Fayzullayeva , Ehtimollar nazariyasidan masalalar to’plami, “O’zbekiston 

faylasuflari milliy jamiyati”, Toshkent, 2006 y. 

10. Д.А. Коршунов, Н.И. Чернова, Сборник задач по математической 

статистике: учебное пособие. 2-е изд., испр. –Новосибирск, изд-во Института 

математики, 2004 г. 

11. Н.Ш. Кремер, Теория вероятностей и математическая статистика: 

Учебник для вузов.  2-е изд., перераб. и доп.- М.: ЮНИТИДАНА, 2004 г. 

12. Ю.Д. Максимов, Ю.Д . Куклин,  Ю.А. Хватов,  Математика. Выпуск  6. 

Теория вepoятностей. Контрольные задания с образцами решений. Тесты. 

Конспект-справ. / Под ред. Ю.Д. Максимова СПб.: Изд-во  ИЗkВО СПбГТУ, 

2002 г. 

13. Ю.Д.  Максимов,  Матeматика. Выпуск 8. Матeматическая статистика: 

Опорный конспект. СПб.: Изд-во  ИЗkВО СПбГТУ, 2002 г. 

14. Ю.Д.  Писменный, Конспект лекций по теории вероятностей и 

математической статистике. М.: Айрис-пресс, 2004 г. 

15. B.C Пугачев, Теория вероятностей и математическая статистика.  М.: 

Учеб. пособие.  2-е изд., исправл. и допол. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002 г. 

16. 

http://www.el.tfi.uz/pdf/enmcoq22.uzl.pdf

; 

17. 

http://www.nsu.ru/icem/grants/etfm/

; 

18. 

http://www.lib.homelinex.org/math/

; 

19. 

http://www.eknigu.com/lib/mathematics/

; 

20. 

http://www.eknigu.com/info/M_Mathematics/MC