Buxoro davlat universiteti

2.  Puasson taqsimotining dispersiyasi quyidagicha ifodalanadi: 

34 

 

 

Demak, puasson taqsimotining dispersiyasiquyidagiga teng ekan: 

35 

 

 

 

 

 

Puasson taqsimotining sonli xarakteristikalari quyidagicha bo’lar ekan: 

 

 

 

1.3 Geometrik qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor. 

 

 

3-ta’rif:  Agar    tasodifiy miqdor 

 qiymatlarni  

 

 

 

36 

 

Ehtimolliklar  bilan  qabul  qilsa,  u  geometlik  qonuni  bo’yicha  taqsimlangan 

tasodifiy taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi.Bu yerda 

ga teng. 

 

Geometrik  qonun  bo’yicha  taqsimlangan  tasodifiy  miqdorlarga  misol 

sifatida quyidagilarni olish mumkin: 

1.  Sifatsiz mahsulot chiqqanga qadar tekshirilgan mahsulotlar soni. 

2.  Gerb tomoni tushganga qadar tekshirilgan mahsulotlar soni. 

3.  Nishonga tekkubga qadar otilgan o’qlar soni va hokazolar. 

 

Geometrik  qonun  bo’yicha  taqsimlangan   tasodifiy  miqdorning  taqsimot 

qonuni quyidagi ko’rinishga ega: 

 

X=m 

1 

2 

…….. 

M 

……. 

 

p 

Pq 

…….. 

p

q

m 1



 

……… 

 

 

 

 

Demak, 

 

 

 

 

 

 

 

 

Yuqoridagi  cheksiz  kamayuvchi  geometrik  progressiyani    tashkil  etadi. 

Shuning uchun ham  

37 

 

 

 

 

 taqsimot geometrik qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi. 

 

parametrli  geometrik  qonun  bo’yicha  taqsimlangan  diskret 

tasodifiy miqdor deyiladi. 

Geometrik qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot 

funksiyasi quyidagiga teng bo’ladi: 

 

 

 

Endi,  bu  geometrik  qonun  bo’yicha  taqsimlangan  tasodifiy  miqdorning  sonli 

xarakteristikalarini hisoblaymiz. 

Geometrik  qonun  bo’yicha  taqsimlangan  tasodifiy  miqdorning 

marematik kutilmasi quyidagicha hisoblanadi : 

 

 

 

 

 

 

 

. 

Geometrik  qonun  bo’yicha  taqsimlangan  tasodifiy  miqdorning  

dispersiyasi quyidagicha  hisoblanadi: 

38 

 

 

 

 

 

 

 

ekanligi kelib chiqadi.  

 

Demak, 

geometrik 

taqsimlangan 

tasodifiy 

miqdorning 

sonli 

xarakteristikalari quyidagicha bo’lar ekan: 

 

 

 

1.3Misollar. 

 

 

1-masala.

tasodifiy  miqdorning  taqsimot  qonuni  berilgan  holda  uning 

matematik kutilmasini toping. 

 

 

 

 

 

Yechish: 

39 

 

 

 

 

 

2-masala.  Erkli       

 tasodifiy  miqdorlar  quyidagitaqsimot  qonunlari 

orqali berilgan, 

 

 

 

 

 

 

tasodifiy miqdorlarningmatematik kutilishini toping. 

 

Yechish: 

 

 

 

 

 

 

3-masala.  Quyidagi  taqsimot  qonuni  bilan  berilgan  tasodifiy  miqdorning 

dispersiyasini toping. 

 

 

 

 

 

Yechish: 

 

 

tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini topamiz: 

 

40 

 

 

 

 

matematik kutilishini topamiz: 

 

 

 

Izlanayotgan dispersiyaquyidagiga teng bo’ladi: 

 

 

 

 

4-masala.Quyidagi  taqsimot  qonuni  bilan  berilgan   tasodifiy  miqdorning 

matematik kutilmasi, dispersiyasi,o’rtacha kvadratik chetlanishini toping: 

 

 

 

 

 

Yechish: 

tasodiy miqdorlarning matematik kutilmasini topamiz: 

 

 

 

 

Bulardan foydalanib, taqsimot qonunning dispersiyasini topamiz: 

 

 

 

X tasodifiy miqdorning o;rtacha kvadratik chetlanishini topamiz: 

 

 

41 

 

 

5-masala.X      tasodifiy  miqdorning  matematik  kutilmasi  va  dispersiyasi 

berilgan,  ya’ni 

 u  holda 

 tasodifiy  miqdorning 

matematik kutilma va dispersiyasini toping. 

 

Yechish: 

 

Matematik  kutilmaning  1-3-xossalariga  asosan,  bu  masalani  quyidagicha 

bajaramiz: 

 

 

 

 

 

6-masala.  N  dona  o’yin  soqqasi  bir  vaqtda  tashlandi.  X  tasodifiy  miqdor 

soqqalarning ustki tomonida tushgan ochkolar  yig’indisining matematik kutilmasi 

va dispersiyasini toping. 

 

Yechish: 

 –inchi    soqqaning  ustki  tomonida  tushgan  ochkolar  soni  bo’lsin.  U  o’zaro 

bog’liqsiz bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar 

. 

 

 

 

 

, 

 

 

 

 

Matematik kutilma va dispersiyaning xossasiga asosan: 

 

 

42 

 

 

 

 

7-masala.Sifat  tekshirish  bo’limi  mahsulotlarning  sifatini  tekshirmoqda. 

Mahsulatning  sifatli  bo’lish  ehtimoli  0,9  ga  teng.  Har  bir  partiyada    5  tadan 

mahsulot  bor,  partiyalar  soni    50  ta. 

tasodifiy  miqdor  aynan  4  dona  sifatli 

mahsulotlar bor. 

tasodifiy miqdorning matematik kutilishini toping. 

 

Yechish: 

 

A hodisa 5 ta mahsulotdan iborat partiyada aynan 4 dona sifatli mahsulotlar 

bor ekanligi ma’lum bo’lsin. Bu hodisaning ehtimolini Bernulli formulasidan n=5 

va p=0,9 qiymatlarda hisoblaymiz. 

 

 

 

 

X  tasodifiy  miqdor  N=50  va 

parametrli    binomial 

taqsimoyga ega bo’gani uchun uning taqsimot qonini quyidagicha bo’ladi: 

 

 

 

 

 

Binomial  taqsimotning  matematik  kutilishi  quyidagi  formula  bilan 

aniqlanadi: 

 

 

 

 

8-masala.Bankka  tashrif  buyuruvchi  shaxslar  soni  puasson  taqsimotiga 

bo’ysunadi.  O’rtacha  hisobda    bankka    har  3  daqiqada  bir  mijoz  kirar 

ekan.Navbatdagi  bir daqiqa davomida bankka 1 mijoz kirishi ehtimolini toping. 

 

Yechish: 

43 

 

 

Masala shartiga ko’ra, o’rta hisobda bankka har  3 daqiqada bitta mijoz kirar 

ekan.  Puasson  taqsimoti  uchun  matematik  kutilish  λ  parametrga  teng  ekanligini 

hisobga olsak, 

3

1





 ekanligini hosil qilamiz. 

 

Navbatdagi  har  bir  daqiqa  davomida  bankka  bir  mijoz  kirishi  ehtimolini 

topamiz: 

 

 

 

 

9-masala.Uskuna 

mustahkamligi 

sinovlardan 

o’tkazilmoqda.Sinovlar 

uskunaning  ishdan  chiqishiga  qadar  o’tkazilzdi.  Har  bir  sinovda    uskunaning 

ishdan  chiqish    ehtimoli  0,1  ga  teng.    Muvaffaqiyatli  o’tgan  tajribalar    soninig 

matematik kutilishi  va dispersiyasini toping. 

 

Yechish: 

 

Masalaning  shartiga  ko’ra,  muvaffaqiyatli  o’tgan  tajribalar  soni  p=0,1  

geometrik  taqsimotga  ega.  Geometrik  taqsimlangan  tasodifiy  miqdorning 

matrematik kutilishi va dispersiyasi formulalariga asosan: 

 

 

 

 

 

 

10-masala.

tasodifiy  miqdor 

   qiymatlarni  0,5  ehtimol  bilan 

qabul qiladi. Bu miqdorning dispersiyasini toping. 

 

Yechish: 

 

 

44 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11-masala.O’zaro  erkli  bir  xil  taqsimlangan    9  ta  tasodifiy  miqdordan  har 

birining  dispersiyasi    36  ga  teng.  Bu  miqdorning  arifmetik  o’rtacha  qiymatining 

dispersiyasini toping. 

 

Yechish: 

 

 

 

 

 

12-masala.O’zaro  erkli,  bir  xil  taqsimlangan  16  ta  tasodifiy  miqdorlardan 

har  birining  o’rtacha  kvadratik  chetlanishi  10  ga  teng.  Bu  miqdorlar  arifmetik 

o’rtacha qiymatining o’rtacha kvadratik chetlabishini toping. 

 

Yechish: 

 

 

 

 

13-masala.Detalning  ishonchliligini  tekshirish  paytida  uning  buzilish 

ehtimoli    0,2  ga  teng.    Agar  10  ta  detal  sanalayotgan  bo’lsa,  buzilgan  detallar 

sonining matematik kutilishini toping. 

 

Yechish: 

45 

 

 

 

 

14-masala.Har bir hodisaning ro’y berish ehtimoli 0,6 ga bo’lgan10 ta erkli 

sinash  o’tkazilmoqda.    X  tasodifiy  miqdor  bu  sinashlar  hodisasining  ro’y  berish 

soni dispersiyasini toping. 

 

Yechish: 

 

Shartga ko’ra n=10, p=0,6. Hodisaning ro’y bermaslik ehtimoli: 

 

 

 

Izlanayotgan dispersiya: 

 

 

 

15-masala:10 ta lotoreya biletida 2 tasi yutuqli bo‘lsa, tavakkaliga olingan 3 ta 

lotoreya biletlari ichida yutuqlilari soni X t.m.ning taqsimot qonunini toping. 

X t.m.ni qabul qilishi mumkin bo‘lgan qiymatlari 

1

2

3

0,

1,

2

x

x

x







. Bu 

qiymatlarning mos ehtimolliklari esa 

 

0

3

2

8

1

3

10

56

7

{

0}

;

120

15

C

C

p

P X

C













 

 

1

2

2

8

2

3

10

56

7

{

1}

;

120

15

C C

p

P X

C





 





 

 

2

1

2

8

3

3

10

8

1

{

2}

120

15

C

C

p

P X

C













. 

 

 

X t.m. taqsimot qonunini jadval ko‘rinishida yozamiz: 

46 

 

 

 

3

1

7

7

1

1

15 15 15

i

i

p













 

  

 

16-masala:X  diskret  t.m.  taqsimot  qonuni  berilgan  bo‘lsa,  X  tasodifiy 

miqdorning matematik kutilmasini toping. 

 

X 

500 

50 

10 

1 

0 

P 

0.01  0.05  0.1  0.15  0.69 

 

MX=500



0.01+50



0.05+10



0.1+1



0.15+0



0.69=8.65. 

 

Xulosa. 

Ushbu  bobda  diskret  tasodifiy  miqdorlarning  sonli  xarakteristikalari,  jumladan 

binomial  qonun  bilan  taqsimlangan  tasodifiy  miqdor,  Puasson  qonuni  bo’yicha 

taqsimlangan  tasodifiy  miqdor,  geometrik  qonun  bo’yicha  taqsimlangan  tasodifiy 

miqdorlarning  matematik  kutilmasi,  dispersiyasiya  taqsimot  funksiyalarni 

o’rganildi. Bobga doir turli murakkablikdagi misollar  yechildi. 

 

II Uzluksiz tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari. 

 

2.1 Tekis taqsimlangan tasodifiy miqdor. 

Uzluksiz  tasodifiy  miqdor  uchundiskret  tasodifiy  miqdor  kabi  taqsimot 

qatorini  aniqlab  bo’lmaydi,  chunki  uzluksiz  tasodifiy  miqdor  chekli  yoki  cheksiz 

oraliqning  har  bir  qiymatini  qabul  qiluvchi  soni  sanoqsiz,  shuning  uchun  ham  bu 

tasodifiy  miqdorlar  uzluksiz  tasodifiy  miqdorlar  deyiladi.  Uzluksiz  tasodifiy 

miqdorlrni  tasvirlashda  va  o’rganishda  taqsimot  va  zichlik  funksiyalaridan 

foydalaniladi. 

X 

0 

1 

2 

P 

7

15

 

7

15

 

1

15

 

47 

 

Barcha 

lar  uchun  X  tasodifiy  (diskrer  yoki  uzluksiz) 

miqdorning  x  dan  kichik  qiymat  qabul  qilish  ehtimoli  kabi  aniqlanadigan  Ф(x) 

funksiyaga X tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi deyiladi.  

 

 

 

Taqsimot funksiyasining xossalari. 

 

1-xossa.Taqsimot funksiyasining o’zgarish sohasi: 

 

 

 

 

2-xossa.X tasodifiy miqdorning (a;b) oraliqdan qiymat qabul qilish ehtimoli: 

 

 

 

3-xossa.F(x)-kamaymaydigan funksiya, ya’ni agar  

bo’lsa, u holda: 

 

. 

 

 

4-xossa.Quyidagi tengliklar o’rinli: 

 

 

 

5-xossa.Uzluksiz tasodifiy miqdor uchun: ixtiyoriy  a da 

bo’ladi va quyidagi tengliklar o’rinli: 

 

 

 

48 

 

 

X uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasidan olingan hosila 

tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi f(x) deyiladi: 

 

 

 

Zichlik funksiyasining  xossalari. 

 

1-xossa.F(x) –kamaymaydigan funksiya bo’lgani uchun  f(x)

. 

 

2-xossa.Zichlik funksiyasi berilgan bo’lsa, taqsimot funksiyasi quyidagi 

tenglik orqali aniqlanadi:  

 

 

 

3-xossa.X tasofiy miqdorning  (a; b) oraliqdan qiymat qabul ehtimoli : 

 

 

 

4-xossa.Zichlik  funksiyasidan    (-

)  oraliq  bo’yicha  zichlik 

funksiyasidan olingan  integral birga teng: 

 

 

 

Shunday  qilib,  tasodifiy  miqdor  o’zining  taqsimot  funksiyasi    F(x)  yoki 

zichlik funksiyasi f(x) bilan bir qiymatli aniqlanadi. 

 

 

 

49 

 

tenglik  bilan  aniqlanadigan 

kattalik  taqsimotning    p-tartibli  kvantili  deyiladi. 

0,5- tartibli kvantil taqsimot medianasi  deyiladi: 

 

. 

 

Agar  zichlik  funksiyasi  maximum  nuqtaga  ega  bo’lsa  f(x)  funksiya  maximumga 

erishadigan x argumentning qiymati taqsimot modasi deyiladi. 

Uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi. 

Barcha  OX  sonlar  o’qida  qiymatlar  qabul  qiluvchi  X  uzluksiz  tasodifiy 

miqdorning matematik kutilmasi quyidagi formula bilan aniqlanadi: 

 

 

 

Avval  diskret tasodifiy miqdorlar uchun keltirilgan matematik kutilmaning barcha 

xossalari uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun ham sanaladi. 

Matematik kutilmaning xossalari. 

1-xossa. O’zgarmas sonning marematik kutilmasi uning o’ziga teng: 

 

 

 

2-xossa.  Biror  o’zgarmas  songa  ko’paytirilgan  uzluksiz  tasodifiy 

miqdorning matematik kutilmasining o’zgarmas songa ko’paytmasiga teng: 

 

 

 

3-xossa.  Tasodifiy  miqdorlar  yig’indisining  matematik  kutilmasi  ular 

matematik kutilmalarining yig’indisiga teng : 

 

 

50 

 

 

4-xossa.  O’zaro  bog’liq  bo’lmagan  tasodifiy  miqdorlar  ko’paytmasining 

matematik kutilmasi, ular matematik kutilmalarining ko’paytmasiga teng: 

 

 

Agar   

   barcha  OX  sonlar  o’qida  qiymatlar  qabul  qiluvchi    X 

uzluksiz tasodifiy argumentning funksiyasi bo’lsa, u holda: 

 

 

 

Butun  sonlar  o’qida  qiymatlar  qabul  qiluvchi  x  uzluksiz  tasodifiy 

miqdorning dispersiyasi quyidagi formula yordamida aniqlanadi: 

 

 

 

yoki unga teng kuchli tenglik: 

 

 

 

Diskrettasodifiy  miqdorlar  uchun  avval  keltirilgan  dispersiya  ning  bartcha 

xossalari uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun ham saqlanadi. 

Dispersiyaning xossalari. 

1-xossa.O’zgarmas  sonning dispersiyasi nolga teng: 

 

 

 

51 

 

2-xossa.Biror  o’zgarmas  songa  ko’paytirilgan  tasodifiy  miqdorning 

dispersiyasi    ana  shu  tasodifiy  miqdor  dispersiyasining  kvadratga  oshirilgan 

o’zgarmas songa ko’paytmasiga teng: 

 

 

3-xossa. O’zaro bog’liq bo’lmagan tasodifiy miqdorlar yig’indisi (ayirmasi) 

ning dispersiyasi  ular dispersiyalarining yig’indisiga teng: 

 

 

 

Demak,  

 

 

 

Agar, 

 butun OX sonlar o’qida qiymatlar qabul qiluvchi X tasodifiy 

argumentning funksiyasi bo’lsa, u holda 

 

 

 

yoki unga teng kuchli tenglik: 

 

 

 

52 

 

X  (ham  diskret  tasodifiy  miqdor,  ham  uzluksiz  tasodifiy  miqdor)  tasodifiy 

miqdorning  o’rtacha  kvadratik  chetlanishi  uning  dispersiyasidan  olingan  kvadrat 

ikldiz kabi aniqlanadi: 

 

 

 

X  uzluksiz  tasodifiy  miqdor  modasi  MoX  deb  zichlik  funksiyasining 

maximum qiymatiga erishadigan argumentning qiymatiga aytiladi. 

X  uzluksiz  tasodifiy  miqdorning  medianasi  MeX  quyidagi  tenglikdan 

aniqlanadi: 

 

 

Barcha OX sonlar o’qida qiymatlar qabul qiluvchi X uzluksiz tasodifiy miqdorning 

k- tartibli boshlang’ichmomenti quyidagi tenglik bilan aniqlanadi: 

 

 

 

Barcha  OX  sonlar  o’qida  qiymatlar  qabul  qiluvchi    X  uzluksiz  tasodifiy 

miqdorning  k-tartibli markaziy momenti quyidagi tenglik bilan aniqlanadi; 

 

 

 

ta’rifga ko’ra, k=1 da 

 

. 

Markaziy  momentlar,  boshlang’ich  momentlar  orqali  quyidagi  formulalar 

yordamida ifodalanadi: 

 

 

53 

 

 

 

 

kabi ifodalanadi. 

Agar  (a;  b)  oraliqdan  qiymatlar  qabul  qiluvchi  X  tasodifiy  miqdorning 

zichlik  funksiyasi  shu  oraliqda  o’zgarmas  songa  teng  bo’lib,  oraliq  tashqarisida 

nolga  teng  bo’lsa,  bunday  tasodifiy  miqdorga  ,  tekis  taqsimlangan  yasodifiy 

miqdor yoki tekis taqsimot qonuniga ega tasodifiy miqdor deyiladi. 

Uning zichlik funksiyasi quyidagiga teng bo’ladi: 

 

 

 

ko’rinishda  berilgan  bo’lsa,  u [a;  b]  oraliqda  tekis  taqsimlangan  tasodifiy  miqdor 

deyiladi. 

Bu tasodifiy miqdorning grafigi quyidagicha bo’ladi: 

 

 

54 

 

[a;  b]  oraliqda  tekis  taqsimlangan  x  tasodifiy  miqdorni  X

 ko’rinishda 

belgilanadi.  X

⌷R[a; b]   uchun taqsimot funksiyasini topamiz. (1) ga ko’ra , agar  

a

    bo’lsa, 

 

 

 

agar,  xb   bo’lsa, u holda quyidagicha bo’ladi: 

 

 

 

   Demak,  

 

 

 

F(x)  taqsimot funksiyaning grafigi quyidagicha tasvirlanadi:  

 

55 

 

 

 

⌷R[a; b] tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalarini hisoblaymiz. 

3-ta’rif: Agar X uzluksiz tasodifiy miqdor bo’lsa va uning mumkin bo’lgan 

qiymatlari  butun  X  o’qqa  tegishli  bo’lsa,  u  holda    uning  matematik  kutilmasi 

quyidagiga teng bo’ladi: 

 

 

 

Bu yerdagi f(x) differensial funksiyadir. 

 

 

 

56 

 

 

Demak,  tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi 

quyidagiga teng bo’lar ekan: 

 

 

 

4-ta’rif:  Agar  X  tasodifiy  miqdorimiz  uzluksiz  bo’lsa,u  holda  uning 

dispersiyasi chetlanishkvadratining matematik kutilishiga aytiladi. 

Agar mumkin bo’lgan qiymatlar [a; b] kesmaga tegishli bo’lsa,u holda: 

 

 

 

 

 

kabi ifodalanadi. 

Demak, tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorning dispersiyasini quyidagicha 

hisoblaymiz: 

 

57