CamScanner 02-19-2023 18. 11

1-bob. To'plamlar nazariyasi elemenlari va ular ustida amallar
1.1 To‘plamlar.
To‘plam tushunchasini taniqli nemis matematigi G.Kantor(1845-1918y) kiritgan u hozirgi kunda zamonaviy matematikaning asosiy tushunchalaridan biri bo‘lib, u ta’riflanmaydigan, faqat misollardagina tushuntiriladigan tushunchadir. Masalan, auditoriyadagi talabalar to‘plami, to‘g‘ri chiziqdagi nuqtalar to‘plami, kitobning ma’lum betidagi nuqtalar to‘plami, kitobning ma’lum betidagi harflar to‘plami, O‘zbekistondagi viloyatlar to‘plami, Quyosh sistemasidagi planetalar to‘plami, biror aylanada yotuvchi nuqtalar to‘plami va hokazo. To‘plam, to‘plamning elementlari, chekli to‘plam, cheksiz to‘plam, to‘plamlarning tengligi, qism to‘plam, xos qism to‘plam, refleksivlik, bo‘sh to‘plam, to‘plamning quvvati, paradoks, aksioma, aksiomatik nazariya, tanlash aksiomasi, hajmiylik aksiomasi, bo‘sh to‘plam aksiomasi, juftlik aksiomasi, Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimi, tartiblanmagan juftlik, tranzitivlik, o‘zaro ekvivalent tasdiqlar.

To‘plamlar nazariyasi barcha matematik bilimlar tizimining baquvvat poydevori bo‘lib xizmat qiladi. Har bir tadqiqot ob`yektini biror to‘plam sifatida tasavvur qilish mumkin. Biroq to‘plamlar universuminierkin holda, hech bir shartlar siz qo‘llash ba`zan ziddiyatga olib kelishi mumkin. Ziddiyatlar matematikada paradoks deb yuritiladi. To‘plamlarga bog‘liq bo`lgan 2 ta paradoksni keltiramiz. Bularing lizmatematigi Bertran Artur Uil`yamRassel (1872 – 1970 yy) va Kantor paradokslari. Rasselparadoksi. R barcha to‘plamlar to‘plami bo‘lsin va bu to‘plamla ro‘z-o‘ziningelementlaribo‘lmasin, ya`ni R {x | x x} . U holda ixtiyoriy x to‘plamuchun xR  xx . Agar x o‘rniga R niqo‘ysak, u holda R Rbajariladi, faqat va faqat RR da, bu esa ziddiyat. Kantor paradoksi. P(A) – A to‘plamning barcha qism to‘plamlari oilasi va P(A)  A , ya`ni | P(A)|  | A| bo‘lsin. Ammo, boshqa tomondan olib qaraydigan bo‘lsak, ixtiyoriy A to‘plamuchun | P(A)|  | A| . U holda Kantor – Bernshteyn teoremasiga ko‘ra | P(A)|  | A| bo‘lishi kerak. Bu esa ixtiyoriy bo‘sh bo‘lmagan A to‘plamning barcha qism to‘plamlari to‘plamining quvvati A to‘plamni o‘zining quvvatidan katta bo‘ladi, teoremagazid.

Ma`lumki, barcha aksiomatik nazariyalarda avvalo asosiy tushunchalar ta`rifsiz tanlab olinadi va undan keyin bu tushunchalar uchun aksiomalar tuziladi. To‘plamlar nazariyasining asosiy tushunchasi to‘plamning o‘zidir. To‘plam biror ob`yektlarni saralab olish bilan tuziladi, bu ob`yektlar ixtiyoriy tabiatli bo‘lishi mumkin. Paradokslarga duch kelmaslik maqsadida to‘plamning elementlari tushunchasini birmuncha aniqlashtirish va ba`zi cheklovlar qo‘yish mumkin. Masalan, ob`yektlar majmuasini 2 xil turga ajratish mumkin: 1) sinflar; 2) to‘plamlar, ya`ni boshqa bir sinfnin gelementi bo‘lgan sinflarlar. To‘plamlar mantiqiy nuqtay nazardan qadam baqadam quriladi, masalan, “oldin” munosabati qadamni tartiblaydi. Har bir to‘plam ma`lum qadamdan keyin quriladi va keyingina foydalanish mumkin bo‘ladi.
Matematikada, shu jumladan, kombinatorika va graflar nazariyasida ham, turli to‘plamlar bilan ish ko‘rishga to‘g‘ri keladi. Masalan, kutubxonadagibarcha kitoblar to‘plami, to‘g‘ri burchakli uchburchaklar to‘plami, suvda hayot kechiruvchi tirik organizmlar to‘plami, natural sonlar to‘plami, koinotdagi yulduzlar to‘plami, to‘g‘ri chiziqda yotuvchi nuqtalar to‘plami va hokazo.
To‘plamlar nazariyasiga fan sifatida XIX asrning oxirida matematikani standartlashtirish bo‘yicha o‘z dasturini taklif etgan Kantor¹ tomonidan asos solingan deb hisoblansada, to‘plamlar bilan Kantordan oldinroq Bolsano² shug‘ullangan.
Kantor fikricha, istalgan matematik ob’yekt (shu jumladan, to‘plamning o‘zi ham) qandaydir to‘plamga tegishli bo‘lishi shart. Berilgan xossaga ega bo‘lgan barcha ob’yektlar majmuasi uchun umumiy nomni Kantor to‘plam deb tushungan edi. Umuman olganda, to‘plam tushunchasiga qat’iy ta’rif berilmaydi, chunki uni boshqa soddaroq tushuncha orqali ifodalab bo‘lmaydi. Masalan, to‘plamni matematik ibora sifatida tushuntirishda Kantor ham to‘plam so‘ziga sinonim bo‘lgan “majmua” so‘zidan foydalangan.Umuman olganda, to‘plam so‘zining lug‘aviy ma’nosiga ko‘ra, uni tashkil etuvchilarni bir joyga to‘plash (yig‘ish, jamlash) tushunilsada, matematikada to‘plam deganda bunday yig‘ish talab etilmaydi, balki bu tashkil etuvchilarni birgalikda to‘plam sifatida qarash uchun ularning barchasiga tegishli qandaydir umumiy xossaning (belgining) mavjudligi yetarlidir.