Цель дисциплины состоит в получении студентами прочных теоретических знаний и твердых практических навыков в области высшей математики

Тема 3. Системы эконометрических уравнений

1. Предварительно ознакомиться с теоретическим материалом:
Л1 [Гл. 4], Л2 [Гл. 3], Л3 [Гл. 9].
2. Примеры с решениями.
Пример 1. Изучается модель вида:

Данная система из трех уравнений содержит три зависимые, эндогенные ( , , ) и четыре независимые, экзогенные ( , , , ) переменные.
В структурной форме (СФМ) для нахождения параметров модели и (называемых также структурными коэффициентами модели), простой МНК неприменим.
Обычно для определения структурных коэффициентов модели СФМ преобразуется в приведенную форму модели (ПФМ).

Параметры приведенной формой модели могут быть оценены по методу наименьших квадратов. По этим параметрам затем можно рассчитать структурные коэффициенты модели и . Для существования однозначного соответствия между параметрами структурной и приведенной формами необходимо выполнение условия идентификации.
Структурные формы модели могут быть
– идентифицируемые;
– неидентифицируемые;
– сверхиндетифицируемые.
Для того чтобы СФМ была идентифицируема, необходимо чтобы каждое уравнение системы было идентифицируемо. В этом случае число параметров СФМ равно числу параметров приведенной формы.
Если хотя бы одно уравнение СФМ неидентифицируемо, то вся модель считается неидентифицируемой. В этом случае число коэффициентов приведенной формы модели меньше, чем число коэффициентов СФМ.
Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае можно получить два и более значений одного структурного коэффициента на основе коэффициентов приведенной формы модели. В сверхидентифицируемой модели хотя бы одно уравнение сверхидентифицируемо, а остальные уравнения идентифицируемы.
Если обозначить число эндогенных переменных в i-том уравнении СФМ через Н, а число предопределенных переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение через D, то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила:
если D+1 < H – уравнение неидентифицируемо;
если D+1 = H – уравнение идентифицируемо;
если D+1 > H – уравнение сверхидентифицируемо.
Счетное правило является необходимым, но не достаточным условием идентификации. Кроме этого правила для идентифицируемости уравнения должно выполняться дополнительное условие.
Отметим в системе эндогенные и экзогенные переменные, отсутствующие в рассматриваемом уравнении, но присутствующие в системе. Из коэффициентов при этих переменных в других уравнениях составим матрицу. При этом, если переменная стоит в левой части уравнения, то коэффициент надо брать с обратным знаком. Если определитель полученной матрицы не равен нулю, а ранг не меньше, чем количество эндогенных переменных в системе без одного, то достаточное условие индетификации для данного уравнения выполнено.
Проверим каждое уравнение системы на выполнение неоходимого и достаточного условия идентификации.
В первом уравнении три эндогенных переменных: , , (H=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные и (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.
Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных и (см. таблицу 1). В первом столбце таблицы показано, что коэффициенты при экзогенных переменных и взяты из уравнений 2 и 3 системы. Во втором уравнении эти переменные присутствуют и коэффициенты при них равны и , соответственно. В третьем уравнении эти переменные отсутствуют, т.е. коэффициенты при них равны нулю. Так как вторая строка матрицы состоит из нулей, определитель матрицы равен нулю. Значит, достаточное условие не выполнено, и первое уравнение нельзя считать идентифицируемым.
Таблица 1
Матрица, составленная из коэффициентов при переменных и .

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
2
3	0	0

Во втором уравнении две эндогенные переменные: и (H=2). В нем отсутствует экзогенная переменная (D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.
Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных и , которые отсутствуют во втором уравнении (см. таблицу 2).
Таблица 2
Матрица, составленная из коэффициентов при переменных и .

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
1
3	–1

Определитель представленной в таблице 2 матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, и второе уравнение идентифицируемо.
В третьем уравнении три эндогенные переменные: , , (H=3). В нем отсутствует экзогенные переменные и (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.
Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных и , которые отсутствуют в третьем уравнении (см. таблицу 3). Согласно таблице определитель матрицы равен нулю (первая строка состоит из нулей). Значит, достаточное условие не выполнено, и третье уравнение нельзя считать идентифицируемым.
Таблица 3
Матрица, составленная из коэффициентов при переменных и .

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
1	0	0
2

При оценивании коэффициентов структурной модели используется ряд методов. Рассмотрим косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), который применяется в случае точно идентифицируемой структурной модели.