Чегаралари ўзгарувчи параметрга боғлиқ интеграллар

Чегаралари ўзгарувчи параметрга боғлиқ интеграллар

Фараз қилайлик, функция

тўпламда берилган ва ҳар бир тайин да функция ўзгарувчининг функцияси сифатида да интегралланувчи бўлсин. ва функ­ция­лар­нинг ҳар бири да берилган ва учун
(1)
тенгсизликлар бажарилсин.
Ушбу

интеграл, равшанки, ўзгарувчига боғлиқ бўлади:
. (2)
(2) интеграл чегаралари ҳам параметрга боғлиқ интеграл дейилади.
1⁰. ф­ункциянинг узлуксизлиги. функциянинг узлук­­сизлигини қуйидаги теорема ифодалайди:
1-теорема. Фараз қилайлик, функция тўпламда узлуксиз бўлиб, ва функциялар эса сегментда узлук­сиз бўлсин. У ҳолда

функция да узлуксиз бўлади.
◄Ихтиёрий нуқтани олайлик. Интегралнинг маъ­лум хоссаларидан фойдаланиб топамиз:
(3)
Равшанки,

интеграл чегараси ўзгармас бўлган параметрга боғлиқ интеграл. Бу функция 75-маъру­зада келтирилган 2-теоремага мувофиқ ўзгарувчининг узлуксиз функ­ция­си бўлади. Демак,
да (4)
бўлади.
функция тўпламда узлуксиз бўлганлиги сабабли шу тўпламда чегараланган бўлади:
.
Шартга кўра ва функциялар сегментда узлуксиз.
Демак,
да ,
да .
Энди

муносабатлардан

(5)
да ,
да
бўлишини топамиз.
(3) тенгликда, да лимитга ўтиш ва унда (4) ва (5) муно­сабатларни ҳисоб­га олиш натижасида
да
бўлиши келиб чиқади. Демак, функция да узлуксиз.►
2⁰. функцияни дифференциаллаш. Фараз қилайлик, функция

тўпламда, ва функциялар эса сегментда берилган бўлиб, , функциялар (1) шартни бажарсин, яъни учун

бўлсин.
2-теорема. Айтайлик, , ва функциялар қуйидаги шартларни бажар­син:
1) функция тўпламда узлуксиз;
2) функция тўпламда узлуксиз хусусий ҳоси­лага эга;
3) ва функциялар да ва ҳосила­лар­га эга.
У ҳолда

функция сегментда ҳосилага эга бўлиб,

бўлади.
◄ , нуқталарни олиб, топамиз:
.
Агар

бўлишини эътиборга олсак, унда
(6)
бўлиши келиб чиқади.
75- маърузадаги 1- теоремага кўра
(7)
бўлади.
Ўрта қиймат ҳақидаги теоремадан фойдаланиб, топамиз:

Бунда нуқта нуқталар орасида, эса , нуқталар орасида жойлашган. да лимитга ўтиши билан қуйидаги тенгликларга келамиз:
(8)
Юқоридаги (6) муносабатда да лимитга ўтиб, (7) ва (8) тенгликларни эътиборга олиб, ушбу

тенгликка келамиз.
Демак,
. ►
Мисол. Ушбу

функциянинг ҳосиласи топилсин.
◄ Айтайлик, бўлсин. Бу ҳолда

бўлиб,

бўлади.
Айтайлик, бўлсин. Бу ҳолда

бўлиб,

бўлади.
Айтайлик, бўлсин. Бу ҳолда

бўлиб,

бўлади.
Демак,

бўлади. ►