Чегирмаларнинг тўла ва келтирилган системалари

1- мисол. таққосламани ечинг.
7 модули бўйича чегирмаларнинг тўла системасини, текшириш қулай бўлсин учун абсолют қиймати жиҳатидан энг кичик чегирмалар системаси кўриниш-да ёзиб оламиз. Берилган таққосламага бу сонларни қўйиб текширсак фақат уни қаноатлантиради, демак берилган таққосламанинг ягона ечими.
2-мисол. таққосламани ечинг.
Бу ерда 3 модули бўйича абсолют қиймати жиҳатидан энг кичик чегирмаларнинг тўла системаси дан иборат, лекин буларнинг бирортаси ҳам берилган таққосламани қаноатлантирмайди, яъни берилган таққослама ечимга эга эмас.
Агарда берилган таққосламани ихтиёрий бутун сон қаноатлантирса, у ҳолда бу таққосламага айний таққослама дейилади.
Айний таққосламага мисол сифатида Ферма теоремасидан келиб чиқадиган (р-туб сон) таққосламани олиш мумкин. Шунингдек агар f(x) кўпҳаднинг барча коэффициентлар m га бўлинса, таққослама айний таққослама бўлади.
2. Биринчи даражаси таққосламани ҳамма вақт
(2)
кўринишга келтириш мумкин. Шунинг учун ҳам биз (2) ни текширамиз. Аввало фараз этайлик (a,m)=1, бўлсин. У ҳолда бўйича чегираларнинг тўла системаси қабул қилса ах ҳам шу системаси қабул қилади. Шунинг учун ҳам х нинг фақат бирта х=х₁ қийматида ах сони в тегишли бўлган синфга қарашли бўлади. Шу қийматда га эга бўламиз. Шундай қилиб, агар (a,m)=1 бўлса, (2) таққослама бирта (ягона) ечимга эга бўлар экан.
3-мисол. таққосламани ечинг.
Бу ерда (5,8)қ1 ва 8 –модули бўйича чегирмаларнинг тўла системаси Буларни қўйиб текшириб берилган таққосламани ечими эканлигини аниқлаймиз.
Энди, фараз этайлик бўлсин. Бу ҳолда агар b сони d га бўлинса деб олиб (2) дан

таққосламани хосил қиламиз. Бу (3) таққослама эса юқорида қараб чиқилган ҳолга кўра ягона ечим га эга бўлади. Биз m модули бўйича (m=m₁·d) (2) таққосламанинг ечимларини топишимиз керак. Бунинг учун (3) нинг ечимлари

модул бўйича нечта ҳар хил синфга тегишли эканлигини аниқлашимиз керак. Тушунарли (4) даги сонлар d та синфга тегишли бу синфлар сифатида

олиш мумкин. Демак (2) нинг бу ҳолда d та ечимига эга бўламиз.
Агарда (а,m)=d>1 бўлиб b сони d га бўлинмаса , у ҳолда (2)-таққослама бирорта ҳам ечимга эга эмас.Чунки бу ҳолда (2) дан ёки тенгликга эга бўламиз. b сони d га бўлинмаганлиги учун бу тенгликнинг бажарилиши мумкин эмас.
Шундай қилиб биз қуйидаги теоремани исботладик.
Теорема. 1). Агар (a,m)=1 бўлса у ҳолда (2) таққослама ягона ечимга эга;
2) Агарда (а,m)=d>1 ва db бўлса, у ҳолда (2) таққослама d та ечимга эга;
3) Агарда (а,m)=d>1 бўлиб b сони d га бўлинмаса бўлса, у ҳолда (2) –таққослама бирорта ҳам ечимга эга эмас.
3. (2)-таққосламанинг ечимини топиш учун юқорида қараб чиқилган танлаш усулини қўллаш мумкин. Лекин бу усул m модул катта бўлса, чегирмалар синфлари сон кўп бўлган учун амалий жиҳатдан ноқулайдир. (2)-таққосламани ечишнинг яна бир усули бу таққосламаларнинг хоссаларидан фойдаланиб коэффициентларини алмаштириш усулидир.
Мисоларга мурожаат этайлик.
4-мисол. таққосламани ечинг.
(5,8)қ1 бўлганли учун бу таққослама ягона ечимга эга. Таққосламанинг исталган томонига модулга каррали сонни қўшиш ёки айириш мумкин:
.
Таққосламанинг иккала томонини модул билан ўзаро туб сонга қисқартириш мумкин бўлгани учун .