Chekli ayirmalar usuli haqida tushunchalar

Bir oʻlchovli parabolik tipdagi tenglamani sonli yechishning har xil
chekli ayirmali approksimatsiyalari.
Quyida bir oʻlchovli issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasi misolida parabolik
tipdagi xususiy hosilali differensial tenglamalarni sonli yechish usullari bilan
tanishiladi. Buning uchun quyidagi differensial chegaraviy masala qaraladi:
Tavsiya qilinadigan variantlar misollarida berilgan dastlabki ma’lumotlardan, ayirmali usulni va toʻr parametrlarini (vaqt va koordinata boʻyicha qadamlarni) tanlashdan bogʻliq holda bu tenglama sonli yechimining oʻzgarish xususiyatlari qaraladi.
Bir oʻlchovli issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasini sonli yechish uchun quyidagi ayirmali sxemalar qaraladi:
1) oltinuqtali parametrik sxema;
2) Frankel-Dyufort sxemasi;
3) Richardson sxemasi;
4) markaziy toʻrtnuqtali oshkor sxema;
5) Alen-Chen sxemasi;
6) nomarkaziy toʻrtnuqtali oshkor sxema;
7) Saulyev sxemasi.
Bir jinsli tenlamaning olingan taqribiy (sonli) yechimini uning bir qator test masalalar uchun olingan aniq yechimi bilan taqqoslash mumkin.
Qaralayotgan (1.3) masala uchun toʻrli soha quyidagicha:

Bu yerda - to’r funksiyaning ( , ), +mh; =p tugunga tegishli komponentasi; - vaqt boʻyicha qadam; - koordinata boʻyicha qadam;

Ayirmali masala (ayirmali sxema)ga misol. Qaralayotgan differensial masala
uchun mumkin boʻlgan ayirmali sxemalardan biri (oshkor sxema) quyidagicha yoziladi:


bu yerda

Ayirmali sxemaning shabloni. Qaralayotgan ayirmali sxema berilgan m va p larda sxemaning shabloni deb ataluvchi shaklni hosil qiluvchi toʻrning toʻrt nuqtasidagi yechim qiymatlarini bogʻlaydi (1.1-rasm).
Ustivorlikning spektral belgisi. Juda koʻplab evolyutsion (vaqtdan bogʻliq) masalalar sinfi uchun ustivorlikka tekshirishni oʻzgarmas koeffisiyentli ayirmali masala holi uchun qoʻllaniladigan spektral belgi orqali quyidagicha amalga oshirish mumkin.
Chegaraviy masala – Koshi masalasidagi ayirmali tenglamaning o’ng tarafini nol bilan, funksiyani garmonika bilan almshtiramiz va bitta fazoviy o’zgaruvchili masala uchun yechimni quyidagicha izlaymiz:

bu yerda - ixtiyoriy son, 0 .
Ayirmali sxemaning ustivorligi uchun spektr doirada yotishi zarur, bunda parametr qadamdan bogʻliq emas. Endi ifodani qaralayotgan ayirmali tenglamaga qoʻyib, quyidagi tenglamaga kelamiz:

Ayirmali sxema ustivor deyiladi, agar shart bajarilsa, ya’ni larni shunday tanlash kerakki, bo’lsin.

1.1-rasm. To’rt nuqtali oshkor sxema shabloni.
Agar (1.4) sxema quyidagicha yozilsa, u holda u aniqligi oshirilgan ayirmali
sxema deyiladi:

Bu yerda  = h2/(6a2). Approksimatsiya tartibi: O(h4  2).