Chekli-ayirmali tenglamalar

1-misol. Quyidagi

bir jinsli chiziqli-ayirmali tenglamaning umumiy yechimi topilsin.
Yechish. Bu tenglamaning xarakteristik ko`phadi bo`lib, uning ildizlari ₁ = 1 va ₂ = -5 bo`lgani uchun umumiy yechim bo`ladi.
2-misol. Nol va birdan boshlanib, har bir keyingisi ikkita oldingilarining yig`in- disiga teng bo`lgan Fibonachchi sonlarini qaraylik: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... Umumiy hadining ko`rinishi topilsin.
Yechish. Masala shartiga ko`ra

chekli-ayirmali tenglamani z₀ = 0, z₁ = 1dastlabki shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi topilishi kerak. Xarakteristik tenglama
²- -1=О
ning ildizlari bo`lgani uchun umumiy yechim
bo`ladi. O`zgarmas с<sub>1</sub> va с<sub>2</sub> dastlabki shartlar, ya`ni

tenglamalardan topiladi:

demak,

3-misol. Ushbu

tenglamaning z₀ =z₁ =z₃ = 0, z₂ = -1 dastlabki shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
Yechish. Xarakteristik tenglamani
⁴ + 2 ³ + З ² + 2 + 1 = 0
( ¹ + + 1)²= 0 kabi yozib olib, uning

ildizlarini topamiz. Umumiy yechim esa:

bu yerda yangi ixiyoriy o`zgarmaslik.
Bu o`zgarmaslarni topish uchun dastlabki shartlardan foydalanib, quyidagi tenglamalarni tuzamiz:




Bundan esa

Shunday qilib,


Xulosa
Differensial va integral tenglamalar klassik analizda qanchalik katta ahamiyatga ega bo`lsa, chekli-ayirmali tenglamalarning roli ham diskret analizda ana shundaydir. Bu paragrafni chekli-ayirmali tenglamalarga baqishlaymiz.
Faraz qilaylik, у(х) funksiya biror oraliqda berilgan bo`lsin. Aniqlik uchun bu oraliq yarim o`qdan iborat bo`lsin. Biror h > 0 qadamli x + kh to`rni olib, y(x) ning chekli ayirmalarini tuzamiz:

Ushbu
(11.1)
ko`rinishdagi tenglama p-tartibli chekli-ayirmali tenglama deyiladi.
Bu yerda y(x) izlanayotgan funksiya bo`lib, F(h y₀, ...,у_p) o`z argumentlari (х, у<sub>0</sub>, ..., у<sub>p</sub>) ning o`zgarish sohasida aniqlangan funksiyadir.
Agar chekli ayirmalarni funksiyaning qiymatlari orqali ifodalasak (11.1) tenglama quyidagi ko`rinishga ega bo`ladi:
Ф (х, у(х), у (x+h), ..., y(x + ph)) = 0. (11.2)
Endi x ning х=nh (п=0, 1,2,...) ko`rinishdagi qiymatlarini olib, y(kh =y<sub>k</sub> deb belgilab olsak (11.2) tenglama
Q(n,y<sub>n</sub>,y<sub>n + 1</sub>, ...y<sub>n+p</sub>) = 0 (n = 0,1,2, ...) (11.3)
ko`rinishga ega bo`ladi.
Biz (11.3) ko`rinishdagi tenglamaning eng sodda ko`rinishini, ya`ni у_к larga nisbatan chiziqli bo`lgan