Chekli va cheksiz to‘plamlar. To‘plamning quvvati va kardinal sonlar. To‘plamning aksiomatik asoslari. Reja daraja aksiomasi. Cheksizlik aksiomasi

Chekli va cheksiz to‘plamlar.
To‘plamning quvvati va kardinal sonlar. To‘plamning aksiomatik asoslari.
REJA
Daraja aksiomasi.
Cheksizlik aksiomasi.
T‘oplamlarning quvvati va ekvivalentligi.
Kardinal son.
Sanoqli va kontinual to‘plamlar.6. Sanoqli to‘plamlarning xossalari.
Kantorning dioganal protsedurasi.
To‘plamning aksiomatik asoslari.
Daraja aksiomasi: Har qanday A to‘plam uchun uning barcha to‘plam ostilar to‘plami P(A) yoki 2^A mavjud.
Teorema 1. n ta elementdan iborat
X={x₁,x₂,...,x_n} to‘plamning barcha to‘plam ostilar to‘plami X to‘plamda aniqlangan soni 2ⁿ ta bo‘lgan binar funktsiyalar to‘plamiga biyektiv bo‘ladi.
Cheksizlik aksiomasi. Hech bo‘lmaganda bitta cheksiz to‘plam – natural sonlar qatori mavjud.
Ta’rif 2. A chekli yoki cheksiz to‘plamlar oilasidan olingan X va Y to‘plamlar uchun biyektsiya mavjud bo‘lsa, u holda X va Y to‘plamlar ekvivalent deyiladi.
Teorema 2. Agar f funktsiya chekli X to‘plamni Y to‘plamga o‘zaro bir qiymatli akslantirish bo‘lsa, u holda va shartlar ekvivalent bo‘ladi.
Ta’rif 3. Cheksiz to‘plam elementlarini sonini aniqlaydigan simvolga kardinal son deyiladi.
Natural qatorning kardinal soni α₀ simvol bilan belgilanadi va alfa nol deb kabi o‘qiladi.
Sanoqli va kontinual to‘plamlar. • 1-xossa. Sanoqli to‘plamning har qanday qism to‘plami yoki chekli yoki sanoqli.
2-xossa. Chekli yoki sanoqlita sanoqli to‘plamlarning yig‘indisi yana sanoqli bo‘ladi.
3-xossa. Har qanday cheksiz to‘plam sanoqlita elementga ega bo‘lgan qism to‘plamga ega.
Teorema. Nol va bir oralig‘idagi haqiqiy sonlar to‘plami cheksizdir.
[0, 1] kesmadagi nuqtalar to‘plami quvvati kabi belgilanadi va kontinium deb nomlanadi.
Teorema: Natural qatorning barcha to‘plam ostilari to‘plami quvvati kontinuum quvvatiga teng.
Matematikada har xil to‘plamlar uchraydi. Masalan, tekislikdagi barcha nuqtalar to‘plami, barcha ratsional sonlar to‘plami, barcha juft sonlar to‘plami va hokazo. To‘plam tushunchasi juda keng ma’nodagi tushuncha bo‘lgani uchun uning ta’rifini berish juda qiyin. Shuning uchun bu tushuncha odatda ta’rifsiz qabul qilinadi. To‘plamlar lotin alifbosining bosh A, B, C, . . . harflari bilan, to‘plamning elementlari esa kichik a, b, c, . . . harflari bilan belgilanadi. Biror a buyumning A to‘plamining elementi ekanligi a ∈ A ko‘rinishda, a buyumning A to‘plamiga tegishli emasligini a /∈ A kabi yoziladi. Masalan, A to‘plam sifatida barcha natural sonlar to‘plamini olsak, u holda 2 ∈ A va −2 ∈/ A. Birorta ham elementi bo‘lmagan to‘plam bo‘sh to‘plam deyiladi va u ∅ ko‘rinishda belgilanadi. Bo‘sh to‘plamga x 2 + 1 = 0 tenglamaning haqiqiy yechimlari to‘plami misol bo‘ladi. Agar A to‘plamning har bir elementi B to‘plamning ham elementi bo‘lsa, u holda A to‘plami B to‘plamning qism to‘plami deyiladi va A ⊂ B ko‘rinishda belgilanadi. A va ∅ to‘plamlar A to‘plamining xosmas qism to‘plamlari deyilib, A to‘plamining boshqa qism to‘plamlari uning xos qism to‘plamlari deb ataladi. 1. A = {2, 3, 4, 5} va B = {−1, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7} bo‘lsa, u holda A to‘plami B to‘plamining xos qism to‘plami bo‘ladi. 2. A = {1, 3, 6, 9} va B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} to‘plamlarning hech biri ikkinchisining qism to‘plami emas. 3. Barcha butun sonlar to‘plami barcha ratsional sonlar to‘plamining xos qism to‘plami bo‘ladi. Agar A ⊂ B va B ⊂ A bo‘lsa, u holda A va B to‘plamlari o‘zaro teng deyiladi va A = B ko‘rinishda belgilanadi. A va B to‘plamlarining o‘zaro teng emasligini A 6= B ko‘rinishda belgilaymiz. A va B to‘plamlarning kamida bittasiga tegishli bo‘lgan barcha elementlardan iborat to‘plam A va B to‘plamlarining birlashmasi deb ataladi va A ∪ B ko‘rinishda belgilanadi.