Chiziqli akslantirishlar

1. Chiziqli tenglamalar sistemasi haqida tushuncha. Sistema-ning yechimi
Iqtisodiy masalalarning aksariyati bir necha noma`lumli (aytaylik m ta) chekli sondagi (aytaylik n ta) chiziqli tenglamalarni o`z ichiga olgan va ushbu tenglamalarning umumiy yechimini topish masalasi qo`yilgan quyidagi


(1)

chiziqli tenglamalar sistemasiga keltiriladi. Bu yerda, a_iκ – haqiqiy sonlar bo`lib, sistemaning koeffitsientlari; b<sub>i</sub> - haqiqiy sonlar esa uning ozod hadlari deyiladi. Sistemaning (1) ko`rinishdagi shakliga m ta noma`lumli n ta chiziqli tenglamalar normal sistemasi deyiladi.

- koeffitsentlar yoki asosiy matritsa,


kengaytirilgan matritsa deyiladi.
(1) sistemaning yechimi yoki yechimlari to`plami deb, uning har bir tenglamasini sonli ayniyatga aylantiradigan mumkin bo`lgan barcha m ta haqiqiy sonlarning tartiblangan (x₁; x₂; … ; x_m) tizimlari to`plamiga aytiladi.

Sistemani yechish deganda – uning barcha yechimlarini topish yoki yechimga ega emasligini ko`rsatish tushuniladi.

Chiziqli tenglamalar sistemasi yechimga ega bo`lsa - birgalikda, yagona yechimga ega bo`lsa - aniq, cheksiz ko`p yechimga ega bo`lsa - aniqmas va umuman yechimi mavjud bo`lmasa – birgalikda bo`l-magan sistema deyiladi.
Tenglamalar sistemasining biror-bir tenglamasi zid (qarama-qarshi) tenglama bo`lsa, sistemaning o`zi ham zid, ya`ni birgalikda bo`lmagan sistemani tashkil etadi. Aynan teng yechimlar to`plamiga ega tenglamalar sistemalariga esa teng kuchli (ekvivalent) sistemalar deb ataladi.
2. Chiziqli tenglamalar sistemasining yechimi mavjudligi va yagonaligi haqida teoremalar.
(1) umumiy ko`rinishdagi chiziqli tenglamalar sistemasining birgalikdalik va aniqlik masalasini quyidagi teorema ochib beradi.
Kroneker-Kapelli teoremasi. Chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda bo`lishi uchun uning asosiy matritsasi rangining kengaytirilgan matritsasi rangiga teng bo`lishi zarur va yetarli.
Agar asosiy A matritsa rangi kengaytirilgan (A | B) matritsa rangiga teng bo`lib, teng ranglar o`z navbatida noma`lumlar soni m ga teng bo`lsa, ya`ni rang(A) = rang(A | B) = m, sistema aniq bo`ladi.
Agar A matritsa rangi kengaytirilgan (A | B) matritsa rangiga teng bo`lib, teng ranglar noma`lumlar soni m dan kichik bo`lsa, ya`ni rang(A) = rang(A | B) < m, sistema aniqmas bo`ladi.
Agarda asosiy matritsa rangi kengaytirilgan matritsa rangidan kichik bo`lsa, sistema birgalikda bo`lmaydi.
n ta noma`lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi normal ko`rinishda berilgan bo`lsin:


(2)

(2) sistema uchun uning aniqlik sharti muhimdir.