Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi

Demak, elementar shakl almashtirishlarni bajarib

_x₁

 2x₂

• 
  7x
  

 3x₃  3
 11


sistemani va bundan yechimni olish

^5x2 3



x



2

 ^3
 mumkin: x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.

Teorema.

Chiziqli algebraik tenglamalarning sistemasi birgalikda bo‘lishi uchun sistemaning asosiy matritsasining rangi kengaytirilgan matritsasining rangiga teng, ya’ni rang(A)=rang(A*) bo‘lishi zarur va yetarli.


Bu teoremadan quyidagi natijalar kelib chiqadi:

1. 
   rang(A) ≠ rang(A*) bo’lsa, sistema yechimga ega emas;
   
2. 
   rang(A) = rang(A*) = n bo’lsa, sistema yagona yechimga ega;
   
3. 
   rang(A) ≠ rang(A*) < n bo’lsa, sistema cheksiz ko’p yechimga ega.
   


_2x₁  7 x₂  3х₃  х₄  5

Misol.

^x  3x

1 2 3 4

 5х  2х  3

n = 4
_x₁  5x₂  9х₃  8х₄  1

^5x 18x  4х  5х
 12

 1 2 3 4


Demak, sistema cheksiz ko’p yechimga ega.

 1 3 5 2 3_{ 
}x₁
 3x₂  5х₃
 2х₄  3 (1)

^ 0 1 7 5 1^{ }
x  7х  5х  1 (2)

_ ^ 
2 3 4

2. 
   

 x₂
 1 7x₃
 5x₄
 (1)
 x₁
 (1 7x₃
 5x₄ )  5x₃
 2x₄  3

_x₁
_x
 6  26x₃
 1 7x
17x₄

• 
  5x
  

 2 3 4


x₃ va x₄ ga turli qiymatlar berib, ularga mos x₁ va x₂
qiymatlarni (cheksiz ko’p yechimlarni) olish mumkin.

Nazorat savollari:

1. 
   n noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy ko’rinishi qanday bo’ladi?
   
2. 
   n noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasining yechimi deganda nimani tushunasiz?
   
3. 
   Qanday holda sistemani birgalikda deb aytiladi?
   
4. 
   Qanday holda sistema yagona yechimga ega bo’ladi?
   
5. 
   Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini matritsalar yordamida yozishni ko‘rsating.
   
6. 
   Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning Kramer usulini izohlang.
   
7. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usulini tushuntirib bering.
   
8. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasi haqidagi Kroneker- Kapelli teoremasini ayting.
   

1. 
   
   

2. 
   
   

3. 
   
   

4. 
   
   

5.