Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi va ularni yechish usullari

^Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi va ularni yechish usullari

1. 
   Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi va uning yechimi.
   

Ma’lumki, bir necha tenglamalar birgalikda qaralsa, ularga tenglamalar sistemasi deyiladi.
Quyidagi
_ a₁₁x₁  a₁₂ x₂  ...  a_1nx_n  b₁,
^ a x  a x  ...  a x  b ,
^ 21 1 22 2 2n n 2


^ ... ... ... ... ... ...

_^a_m1x₁  a_m2 x₂  ...  a_mnx_n  b_m
(1)

sistemaga ⁿ noma’lumli ^m ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi (yoki

soddalik uchun chiziqli tenglamalar sistemasi) deyiladi. Bu yerda
a₁₁,a₁₂ , ,a_mn

sonlar (1) sistemaning koeffitsiyentlari, sonlar esa ozod hadlar deyiladi.
x₁, x₂ ,_…, x_n
lar noma’lumlar,
b₁,b₂ ,...,b_m

Tenglamalar sistemasi koeffisiyentlaridan tuzilgan
_ a₁₁ a₁₂ ... a_{1n }
^ a a ... a ^

A  ^
21 22 2n _

^ ... ... ... ... ^
 a a ... a ^
 m1 m2 mn 
matritsa tenglamalar sistemasining asosiy matritsasi deyiladi. Noma’lumlar

vektorini
X  (x , x ,..., x )^T
ustun vektor, ozod hadlarni
B  (b ,b ,...,b )^T
ustun

1 2

n

1 2

m
vektor shaklida ifodalaymiz. U holda tenglamalar sistemasi quyidagi matritsa shaklida yozilishi mumkin:
AX  B.

1. 
   ta’rif. Agar
   

₁,₂,
sonlar
x₁, x₂ ,
larning oʻrniga qoʻyilganda (1)

sistemadagi tenglamalarni toʻgʻri tenglikka aylantirsa, bu sonlarga (1) sistemaning

yechimlari tizimi, deb aytiladi va
^{X } ^{1, 2,}
kabi belgilanadi.

2. 
   ta’rif. Chiziqli tenglamalar sistemasi kamida bitta yechimga ega boʻlsa, u holda bunday sistema birgalikda deyiladi.
   

_x  y  2,

ega.


1-misol.


2x  y  7
^ sistema birgalikda chunki sistema
x  3, y  1

yechimga

3-ta’rif. Bitta ham yechimga ega boʻlmagan chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda boʻlmagan sistema deyiladi.
_x  y  z  1,


2-misol.
_3x  3y  3z  5
sistema yechimga ega boʻlmaganligi sababli

birgalikda emas.
4-ta’rif. Birgalikda boʻlgan sistema yagona yechimga ega boʻlsa, aniq sistema va cheksiz koʻp yechimga ega boʻlsa aniqmas sistema deyiladi.
_x  y  1,


^2x  2 y  2,
^3x  3y  3
3-misol. ^ sistema birgalikda, ammo aniqmas, chunki bu sistema

x   _,
y  1 
koʻrinishdagi cheksiz koʻp yechimga ega, bunda ^ -ixtiyoriy

haqiqiy son.

5-ta’rif. Birgalikda boʻlgan tenglamalar sistemasilari bir xil yechimlar tizimiga ega boʻlsa, bunday sistemalar ekvivalent sistemalar deyiladi.

4. 
   misol. Quyidagi ikkita tenglamalar sistemasini qaraymiz
   

_2x  3y  5

x  2 y  3

^ (a) tenglamalar sistemasining yechimi
_3x  2 y  1

3x  y  4

^ (b) tenglamalar sistemasining yechimi
(x, y)  (1,1) _.


(x, y)  (1,1) _.

(a) va (b) tenglamalar sistemasi ekvivalent tenglamalar sistemasi deyiladi.
Izoh: Berilgan tenglamalar sistemasining birorta tenglamasini noldan farqli songa koʻpaytirib, boshqa tenglamasiga hadma-had qoʻshish bilan hosil boʻlgan sistema berilgan sistemaga ekvivalent boʻladi.

4. 
   misol.
   

_x  3y  5

3x  y  5

^ (a) tenglamalar sistemadagi 1-tenglamani (-3) ga koʻpaytirib 2- tenglamaga qoʻshib quyidagini hosil qilamiz:
_ x  3y  5

10 y  10

^ (b) natijada (a) va (b) tenglamalar sistemasi ekvivalent.
Chiziqli tenglamalar sistemasining yechimga ega yoki ega emasligini quyidagi teorema yordamida aniqlash mumkin.

2. 
   Chiziqli algebraic tenglamalar sistemasining yechimi mavjudligining zaruriy va yetarli sharti (Kroneker-Kapelli teoremasi).
   

1. 
   teorema (Kroneker-Kapelli teoremasi). Chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda bo‘lishi uchun uning ^A asosiy matritsasi va kengaytirilgan ^{( A | B)} matritsalarining ranglari teng bo‘lishi zarur va yetarli.
   

Isbot. Zaruriyligi. Faraz qilamiz (1) sistema birgalikda bo‘lsin. U holda uning

biror yechimi mavjud va
x₁  ₁ ,x₂  ₂ ,...,x_n  _n
dan iborat bo‘lsin.

Bu yechimni (1) chiziqli tenglamalar sistemasidagi noma’lumlar o‘rniga qo‘ysak:

ega bo‘lamiz.

a_i1₁  a_{i 2}₂ L
 a_in_n  b_i , i  1,2,...,m ₍₂₎

Bu tengliklar majmuasi quyidagi tenglikka ekvivalent:
 ^a₁₁   ^a₁₂   ^a_1n   ^b₁ 
 _a   _a   _a   _b 

_  ²¹  _{ } 
^{22 } L   ^
2n _{  }
^{2 } , i  1,2,...,m

^{1 } M^{ 2 } M^{
n } M^{ } M^

 _a   _a   _a   _b 

 m1   m2  
mn   m 
(3)

Bundan (1) sistemaning kengaytirilgan matritsasi oxirgi ustuni asosiy matritsa ustunlari chiziqli kombinatsiyasidan iborat ekanligi kelib chiqadi. Ma’lumki matritsaning rangi ustunlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo‘lgan ustunni tashlab yuborilganda o‘zgarmaydi. Kengaytirilgan matritsadan ozod hadlar ustunini olib tashlasak sistemaning asosiy matritsasiga ega bo‘lamiz. Demak, asosiy va kengaytirilgan matritsalarning ranglari teng. Shuni isbotlash talab etilgan edi.
Yetarliligi. Aytaylik asosiy va kengaytirilgan matritsalarning ranglari teng,
r _ A_  r _ A B_
^A (asosiy) matritsaning ^r ta bazis ustunlarini ajratamiz, bular ^{ A B} (kengaytirilgan) matritsaning ham bazis ustunlari bo‘ladi. Faraz qilamiz birinchi ^r ta ustun bazis bo‘lsin.
Bazis minor haqidagi teoremaga asosan ^A matritsaning oxirgi ustuni bazis ustunlarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida tasvirlanishi mumkin. Bu esa:
 ^a₁₁   ^a₁₂   ^a_1r   ^b₁ 
 _a   _a   _a   _b 

_  ²¹  _{ } 
^{22 } L   ^
2r _{  } 2 _

^{1 } M^{ 2 } M^{
r } M^{ } M^

 _a   _a   _a   _b 

 m1   m2  
mr   m 

munosabatni qanoatlantiruvchi
₁,₂ ,...,_r
lar mavjudligini bildiradi. Oxirgi

munosabat quyidagi ^m ta tenglamalarga ekvivalent:

a_i1₁  a_{i 2}₂ L
Agar (1) tenglamalar sistemasiga

• 
  a_ir_r
  

 b_i , i  1,2,...,m

x₁  ₁ ,x₂  ₂ ,...,x_r
 _r ,x_r1  0,...,x_n  0 _{, (4)}

qo‘ysak, u holda tenglamalar sistemasi (2) ga aylanadi. Bundan noma’lumlarning (4) qiymati (1) sistemadagi barcha tenglamalarni qanoatlantiradi, ya’ni sistema yechimga ega bo‘ladi. Teorema isbotlandi.
Kroneker - Kapelli teoremasiga ko‘ra birgalikda bo‘lgan tenglamalar sistemasining asosiy ^A matritsasi rangi bilan uning kengaytirilgan ^{ A B}

matritsasining ranglari teng.
r  r _ A_  r _ A B_
qiymatni berilgan sistemaning rangi

deb ataymiz. ^A matritsaning biror bazis minorini belgilab olamiz. Bazis satrlarga mos bo‘lgan tenglamalarni berilgan sistemaning bazis tenglamalari deb ataymiz. Bazis tenglamalar bazis sistemani tashkil etadi. Bazis ustunlarda qatnashgan noma’lumlarni bazis o‘zgaruvchilar, qolganlarini ozod o‘zgaruvchilar, deb ataymiz.
Oldingi mavzularda berilgan bazis minor haqidagi teoremadan quyidagi tasdiq o‘rinliligi kelib chiqadi.

2. 
   teorema. Chiziqli tenglamalar sistemasi o‘zining bazis tenglamalar sistemasiga ekvivalent.
   

Soddalik uchun (1) sistemada birinchi ^r ta tenglama bazis tenglama bo‘lsin.
Yuqorida keltirilgan teoremaga asosan:

a_i1 x₁  a_{i 2} x₂ L
 a_in x_n  b_i , i 1,2,...,r
(5)

bazis tenglamalar sistemasi berilgan (1) sistemaga ekvivalent. Shuning uchun

1. 
   tenglamalar sistemasi o‘rniga uning rangiga teng bo‘lgan (5) sistemani tadqiq etish yetarli.
   

O‘z-o‘zidan ko‘rinadiki matritsaning rangi ustunlar sonidan katta emas, ya’ni ^{r  n} . Boshqacha aytganda birgalikdagi sistemaning rangi noma’lumlar sonidan oshmaydi.
Bu yerda ikki hol bo‘lishi mumkin:

1. 
   r  n _;
   

^{r  n} , ya’ni bazis sistemada tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo‘lsin.
Bazis sistemani quyidagicha ifodalaymiz ^{Ab X  Bb} . Bunda ^Ab bazis minorga mos

matritsa. ^{det( Ab )  0}
bo‘lganligi sababli,
^A1 mavjud va

b

b b b b b
X  EX  A^1A X  A^1(A X )  A^1B
tenglik yagona yechimni ifodalaydi.

2. 
   r  n
   

bo‘lsin. Tenglamalarda
x₁ , x₂ ,..., x_r
bazis noma’lumlar qatnashmagan

barcha hadlarni uning o‘ng tomoniga o‘tkazamiz. U holda (5) sistema:

a_i1x₁  a_{i 2} x₂ L
ko‘rinishni oladi.

• 
  a_ir x_r
  

^{ b}i ^{ a}ir1^xr1 ^L

• 
  ^{ain xn} . (5)
  

Agar erki
x_r , x_r1 ,..., x_n
noma’lumlarga biror
_r1,...,_n
sonli qiymatlarni bersak,

u holda
x₁,..., x_r
o‘zgaruvchilarga nisbatan tenglamalar sistemasini olamiz va bu

sistemada noma’lumlar soni asosiy matritsa rangiga teng bo‘lganligi sababli u yagona yechimga ega. Erkli noma’lumlar qiymati ixtiyoriy tanlanganligi sistemaning umumiy yechimlari soni cheksiz ko‘p.
Izoh: Shunday qilib:

_1). rangA  rangA
bo‘lsa, tenglamalar sistemasi birgalikda emas;

ega;
_2). rangA  rangA  r  n

_3). rangA  rang A  r  n
bo‘lsa, tenglamalar sistemasi yagona yechimga

bo‘lsa, tenglamalar sistemasi cheksiz ko‘p

yechimga ega.
Fan va texnikadaning koʻp sohalarida boʻlganidek, iqtisodiyotning ham koʻp masalalarining matematik modellari chiziqli tenglamalar sistemasi orqali ifodalanadi. 6-misol. Korxona uch xildagi xom ashyoni ishlatib uch turdagi mahsulot ishlab
chiqaradi. Ishlab chiqarish xarakteristikalari quyidagi jadvalda berilgan.

Xom ashyo turlari	Mahsulot turlari boʻyicha xom ashyo sarflari			Xom ashyo zahirasi
	A	B	C
1	5	12	7		2000
2	10	6	8		1660
3	9	11	4		2070

Berilgan xom ashyo zahirasi toʻla sarflansa, mahsulot turlari boʻyicha ishlab chiqarish hajmini aniqlashning matematik modelini tuzing.
Yechish. Ishlab chiqarilishi kerak boʻlgan mahsulotlar hajmini mos ravishda

x₁, x₂ , x₃
lar bilan belgilaymiz. Bir birlik A turdagi mahsulotga, 1-xil xom ashyo sarfi

5 birlik boʻlganligi uchun
5x₁
A turdagi mahsulot ishlab chiqarish uchun ketgan 1-

xil- xom ashyoning sarfini bildiradi. Xuddi shunday B va C turdagi mahsulotlarni

ishlab chiqarish uchun ketgan 1-xil xom ashyo sarflari mos ravishda boʻlib, uning uchun quyidagi tenglama oʻrinli boʻladi:
5x₁ 12x₂  7x₃  2000 _.
Yuqoridagiga oʻxshash 2-, 3-xil xom ashyolar uchun
10x₁  6x₂  8x₃  1660,
9x₁ 11x₂  4x₃  2070
12x_{2 ,}
7x₃

tenglamalar hosil boʻladi. Demak, masala shartlaridan quyidagi uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu masalaning matematik modeli quyidagi uch noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasidan iborat boʻladi:


_5x₁ 12x₂  7x₃  2000,
_10x₁  6x₂  8x₃  1660,
^9x 11x  4x  2070.
 1 2 3

3. 
   Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning Kramer usuli.
   

Determinantlarni chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga tatbiqi bo‘lgan
Kramer (determinant) usuli bilan tanishamiz. Aytaylik, bizga ⁿ ta noma’lumli ⁿ ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin:
_a₁₁ x₁  a₁₂ x₂  ......  a_1n x_n  b₁
^a x  a x  .....  a x  b
^ 21 1 22 2 2n n 2

_...............................................

_^a_n1 x₁  a_{n 2} x₂  .....  a_nn x_n  b_n
(6)

Bu yerda
^{x1, x2 ,..., xn }noma’lumlar,
^{a11,a12 ,..., ann }koeffitsientlar,

^{b1,b2 ,...,bn }ozod sonlar.

n
Teorema 1.6. Agar (1.4.1)- tenglamalar sistemasining asosiy determinanti noldan farqli bo‘lsa, u holda sistema yagona yechimga ega bo‘ladi va u quyidagi formulalardan topiladi .

  0 ,
x  ^x ,

x  ^x
, ..., x
_ _x

1 2
1 _ 2 _
^{n } (7)

Bu Kramer formulasidan iborat. Bu yerda
  0
ga bosh determinant,

1 2 3
_x , _x
, _x
,..., _x
larga yordamchi determinantlar deyiladi. Soddalik uchun uch

n
noma’lumli, uchta chiziqli tenglamalar sistemasini qaraymiz:
_a₁₁x  a₁₂ y  a₁₃ z  b₁
^a x  a y  a z  b
^ 21 22 23 2
^a x  a y  a z  b

 31 32 33 3
(8) (1.4.3)

uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda dastlab bosh (asosiy) determinant

^a11
 a₂₁
^a31
^a12 ^a22 ^a32
^a13 ^a23 ^a33


(9)

topiladi.
  0
bo‘lsin. Undan so‘ng yordamchi determinantlar hisoblanadi

(bunda bosh determinantning ustun elementlari mos ravsihda ozod hadlar bilan almashtiriladi):

_x 
^b1 ^a12 ^b2 ^a22 ^b3 ^a32
^a13 a₂₃ ,
^a33


 _y 
^a11 ^b1 ^a21 ^b2 ^a31 ^b3
^a13 a₂₃ ,
^a33


_z 
^a11 ^a21 ^a31
^a12 ^b1 ^a22 ^b2 ^a32 ^b3


(10)

Noma’lumlar quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:
x  ^x , y  ^{ y} , z  <sup>z

  </sup> (11)