Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi va ularni yechish usullari

6-misol. Korxona uch xildagi xom ashyoni ishlatib uch turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. Ishlab chiqarish xarakteristikalari quyidagi jadvalda berilgan.

Xom ashyo turlari	Mahsulot turlari boʻyicha xom ashyo sarflari			Xom ashyo zahirasi
	A	B	C
1	5	12	7	2000
2	10	6	8	1660
3	9	11	4	2070

Berilgan xom ashyo zahirasi toʻla sarflansa, mahsulot turlari boʻyicha ishlab chiqarish hajmini aniqlashning matematik modelini tuzing.
Yechish. Ishlab chiqarilishi kerak boʻlgan mahsulotlar hajmini mos ravishda ^{x x x}1 2^{, ,} 3 lar bilan belgilaymiz. Bir birlik A turdagi mahsulotga, 1-xil xom ashyo sarfi
5 birlik boʻlganligi uchun 5x1 A turdagi mahsulot ishlab chiqarish uchun ketgan 1xil- xom ashyoning sarfini bildiradi. Xuddi shunday B va C turdagi mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun ketgan 1-xil xom ashyo sarflari mos ravishda ^12x2, ^7x3 boʻlib, uning uchun quyidagi tenglama oʻrinli boʻladi:
5x₁ +12x₂ +7x₃ = 2000 _.
Yuqoridagiga oʻxshash 2-, 3-xil xom ashyolar uchun
10x₁ +6x₂ +8x₃ =1660, 9x₁ +11x₂ + 4x₃ = 2070
tenglamalar hosil boʻladi. Demak, masala shartlaridan quyidagi uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu masalaning matematik modeli quyidagi uch noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasidan iborat boʻladi: 5x₁ +12x₂ + 7x₃ = 2000,

10x₁ + 6x₂ +8x₃ =1660,
9x1 +11x2 + 4x3 = 2070.
3.Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning Kramer usuli.
Determinantlarni chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga tatbiqi bo‘lgan Kramer (determinant) usuli bilan tanishamiz. Aytaylik, bizga n ta noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin:
a x a x11 1 + 12 2 +......+a x1n n =b1
a x a x21 1 + 22 2 +.....+a x2n n =b2

...............................................
a x a xn1 1 + n2 2 +.....+a xnn n =bn (6)
Bu yerda x x1, 2,...,xn −noma’lumlar, a a11 12, ,...,ann −koeffitsientlar, b b1 2, ,...,bn −ozod sonlar.
Teorema 1.6. Agar (1.4.1)- tenglamalar sistemasining asosiy determinanti noldan farqli bo‘lsa, u holda sistema yagona yechimga ega bo‘ladi va u quyidagi formulalardan topiladi .

x1 , x2 =x2 , ..., xn =xn
 0 , x1 =
   (7)
Bu Kramer formulasidan iborat. Bu yerda 0 ga bosh determinant,
^{  x}₁^{, x}₂^{, x}₃^,...,x_nlarga yordamchi determinantlar deyiladi. Soddalik uchun uch noma’lumli, uchta chiziqli tenglamalar sistemasini qaraymiz:
a x a y a z b11 + 12 + 13 = 1

a x a y a z b21 + 22 + 23 = 2
a x a y a z b31 + 32 + 33 = 3 (8) (1.4.3)
uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda dastlab bosh
(asosiy) determinant

a a a_{11 12 13}
=a a a_{21 22 23}
a a a_{31 32 33} (9)
topiladi.  ⁰ bo‘lsin. Undan so‘ng yordamchi determinantlar hisoblanadi (bunda bosh determinantning ustun elementlari mos ravsihda ozod hadlar bilan almashtiriladi):

b a a1 12 13  =xb a a2 22 23, b a a3 32 33

a b a11 1 13  =ya b a21 2 23, a b a31 3 33

a a b11 12 1  =za a b21 22 2 a a b31 32 3 (10)

Noma’lumlar quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:
x= x , y= y , z= z
   (11)