Chiziqli bo`lmagan algebraik tenglamalar tizimini echish usullari

Uchinchi yo’l elementlarini -44 ga ko’paytirsak,

hosil bo’ladi.
Uchinchi yo’l elementlarini - ga ko’paytirib, ikkinchi yo’l elementlariga, so’ngra, - ga ko’paytirib, birinchi yo’l
elementlariga qo’shsak,

hosil bo’ladi.
Bundan x₁q-1; x₂q1; x₃q-2 ekanligi kelib chiqadi.
3-misol.

Echish.

Birinchi yo’l elementlarini -1 ga ko’paytirib, ikkinchi yo’l elementlariga, so’ngra -2 ga ko’paytirib, uchinchi yo’l elementlariga qo’shamiz:

Ikkinchi yo’l elementlarini -1 ga ko’paytirib, uchinchi yo’l elementlariga qo’shsak,

hosil bo’ladi.
Elementar almashtirishlar natijasida oxirgi yo’l elementlari (0 0 0 -4) ko’rinishga kelib qoladi. Bunday holda berilgan sistemaning echimi mavjud bo’lmaydi. Demak, berilgan sistema birgalikda emas.
4-misol

Echish.

Birinchi yo’l elementlarini -2 ga ko’paytirib, ikkin-chi yo’l elementlarini -1 ga ko’paytirib, uchinchi yo’l elementlariga qo’shsak:

hosil bo’ladi.
Ikkinchi yo’l elementlarini -1 ga ko’paytirib, uchinchi yo’l
elementlariga qo’shsak,
yoki
hosil bo’ladi. Bundan ko’rinadiki, berilgan sistema cheksiz ko’p echimga ega ekan.
Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini noma’lumlarni to’la yo’qotish usuli bilan eching.
1. Chiziqli tenglamalar sistemasini teskari matritsa usulida yechish
n ta noma`lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi

berilgan bo`lsin. Matritsalarni ko`paytirish amali va matritsalar tengligi ta`rifidan foydalanib, sistemani
AX = B
matritsali tenglama ko`rinishida yozish mumkin. Bu yerda, A = (a_iκ) - asosiy matritsa, B – ozod hadlar ustun matritsasi va X - noma`lumlar ustun matritsasi.
Sistemaning asosiy matritsasi A maxsusmas bo`lib, A^-1 uning tes-kari matritsasi bo`lsin. AX = B tenglama ikkala qismini chapdan tes-kari A<sup>-1</sup> matritsaga ko`paytiramiz va
A^-1A = E, EX =X
tengliklarni e`tiborga olsak,
X = A<sup>-1</sup>B (1)
tenglamani olamiz. (1) tenglama tenglamalar sistemasi yechimini matritsa shaklda yozish yoki sistemani teskari matritsa usulida ye-chish formulasi deyiladi. Shunday qilib, sistemani teskari matritsa usulida yechish uchun A kvadrat matritsa teskarisi A<sup>-1</sup> quriladi va u chapdan ozod hadlar matritsasi B ga ko`paytiriladi.
Masala. Quyida berilgan chiziqli tenglamalar sistemalarini teskari matritsa usulida yeching:
1) 2) 3)

1)

Sistema yechimi: ( 9; -5 ).

2) qism matritsa rangi sistema rangiga teng bo`lgani uchun sistema dastlabki ko`rinishini unga teng kuchli quyidagi shakli bilan almashtiramiz:

Yuqoridagi sistemani matritsalar usulini qo`llab yechish mumkin:

Sistema aniqmas bo`lib, umumiy yechim ko`rinishlaridan biri shaklda yozilishi mumkin. Bu yerda, x₂єR.
3) Sistema asosiy matritsasi teskarisini Jordan usulida aniqlaymiz:
 …
Sistema yagona yechimini teskari matritsa usuli formulasini qo`l-lab, quramiz:

Sistema yechimi: ( -2; -1; 2 ).
Har bir usul kabi teskari matritsa usuli o`zining afzallik va noqulaylik jihatlarga ega. Bir nechta asosiy matritsalari aynan teng va biri-biridan faqat ozod hadlari ustuni bilan farq qiluvchi sistemalarni teskari matritsa usulida yechgan maqsadga muvofiq. Chunki, bir marta qurilgan teskari matritsa mos ozod hadlari ustuniga ko`paytiriladi va natija olinaveradi. Usulning noqulay jihati teskari matritsa qurish jarayoni bilan bog`liq bo`lib, ayniqsa, detal nolga yaqin bo`lganda ko`p xonali sonlar ustida hisob-kitoblarni talab etadi.