Chiziqli differensial tenglamalar sistеmasi. Mavjudlik va yagоnalik tеоrеmasi. Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistеmasi yechimlarining xossalari

1-teorema (Jordan). Ixtiyoriy matritsaning barcha xos qiymatlariga mos keluvchi Jordan zanjiridan tuzilgan vektorlar sistemasi fazoning bazisini tashkil qiladi.

Endi matritsaning Jordan bazisidagi ko‘rinishini ifodalovchi tasdiqni keltiramiz.

2-teorema. Ixtiyoriy matritsa uchun, shunday xosmas matritsa topilib, quyidagi

tengliko‘rinli bo‘ladi. Bu yerda matritsalar mos ravishda o‘lchamli Jordan kataklaridir:

.

Bunda bo’lib, matritsaning karrali xos qiymatidir.

2. Quyidagi noma’lumli ta differensial tenglamalar sistemasini qaraylik:

(1)

Bu yerda -o‘zgarmas simmetrik bo‘lmagan matritsa, -noma’lum vektor-funksiya. Faraz qilaylik, soni matritsaning karrali xos qiymati bo‘lib, vektorlar uning Jordan zanjiridan iborat bo‘lsin. U holda bu Jordan zanjiriga (1) differensial tenglamalar sistemasining ta yechimi mos kelishini ko‘rsatamiz. Buning uchun, avvalo ushbu

(2)

differensial tenglamalar sistemasining yechimini topamiz. Bunda -Jordan katagidan iborat. (2) sistemani koordinatalarda yozamiz:

.

So‘ngra bu differensial tenglamalarni oxirgisidan boshlab ketma-ket yechamiz:

,

.

Demak, (2) differensial tenglamalar sistemasining ixtiyoriy yechimini

ko‘rinishda yozish mumkin ekan. Bu yerda

bo’lib, vektorlar matritsaning Jordan zanjiridan iborat.

Quyidagi

belgilashdan foydalansak, yuqoridagi tengliklarni

(3)

ko‘rinishida yozish mumkin. vektor-funksiyalar ushbu

tenglikni qanoatlantiradi. -vektorlar-sistemasi matritsaning Jordan zanjirini tashkil qilgani uchun

munosabat bajariladi. Haqiqatan ham:

Endi, quyidagi ayirmani hisoblaymiz:

Demak, vektor-funksiyalar (2) differensial tenglamalar sistemasining yechimidan iborat bo‘lar ekan.

Nihoyat, matritsaning karrali xos qiymatiga mos keluvchi Jordan zanjiriga (1) differensial tenglamalar sistemasining ta yechimi mos kelishini ko‘rsatamiz. Buning uchun quyidagi

(4)

vektor-funksiyalarni tuzib olamiz.