Chiziqli differensial tenglamalar sistеmasi. Mavjudlik va yagоnalik tеоrеmasi. Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistеmasi yechimlarining xossalari

1-lemma. Ushbu

ko‘rinishdagi vektor-funksiyalarning har biri (1) differensial tenglamalar sistemasining yechimidan iborat bo‘ladi.

Isbot. Lemmaning isbotini hol uchun keltiramiz ( hol ravshan ). vektor-funksiyalarning aniqlanishiga ko‘ra

munosabato‘rinli. Yuqoridagi vektorlar Jordan zanjirini tashkil qilgani uchun, ushbu

tenglik bajariladi. Bundan foydalanib quyidagi ayirmani hisoblaymiz:

Demak, vektor-funksiyalar (1) differensial tenglamalar sistemasining yechimi bo‘lar ekan.

3-teorema. Aytaylik, fazoning Jordan bazasi matritsaning karrali xos qiymatiga mos keluvchi ta Jordan zanjiridan iborat bo‘lsin. U holda ushbu

(5)

vektor-funksiya (1) differensial tenglamalar sistemasining yechimidan iborat bo‘ladi. Bu yerda - ixtiyoriy haqiqiy o‘zgarmaslar.

2) Agar vektor-funksiya (1) differensial tenglamalar sistemasining biror yechimi bo‘lsa, u holda shunday haqiqiy o‘zgarmas sonlar topilib, bu yechim uchun (5) tasviro‘rinli bo‘ladi.

Isbot. Teorema birinchi bandini isboti 1-lemma va superpozitsiya prinspidan kelib chiqadi. Shuning uchun teorema ikkinchi bandining isbotini keltiramiz.

Faraz qilaylik, vektor-funksiya (1) differensial tenglamalar sistemasining biror yechimi bo‘lsin. Har bir larda yechimni fazoning Jordan bazasi orqali yoyish mumkin:

. (6)

Bu vektor-funksiyaning (6) ifodasini (1) differensial tenglamalar sistemasiga qo‘yib Jordan zanjirining ta’rifidan foydalansak,

munosabat kelib chiqadi. Har bir vektorni Jordan bazisi bo‘yicha (6) yoyilmasining yagonaligidan quyidagi

ta differensial tenglamalar sistemasi kelib chiqadi. Bu sistemani quyidan yuqoriga qarab yechsak,

tengliklar hosil bo‘ladi. Topilgan , funksiyalarning bu ifodalarini (6) yoyilmaga qo‘yib, yechimning (5) ko‘rinishda tasvirlanishiga ishonch hosil qilamiz.