Chiziqli funksionallar va operatorlar
Download 183.56 Kb.
|
CHIZIQLI OPERATORLARNING XOS QIYMAT VA XOS VEKTORLAR
CHIZIQLI OPERATORLARNING XOS QIYMAT VA XOS VEKTORLAR Reja: 1.Vektor fazolar. Chekli va cheksiz o’lchamli fazolar. 2. Chiziqli normallangan fazo. 3. Evklid fazosi. 4. Chiziqli funkstionallar V-bo’sh bo’lmagan ixtiyoriy to’plam , R esa R yoki S dan iborat sonli maydon bo’lsin . Ta’rif:Agar V to’plamning ixtiyoriy ikkita elementi uchun kushish amali va V to’plamning ixtiyoriy elementi bilan R maydonning ixtiyoriy elementlarining ko’paytirish amali aniqlangan bo’lib, quyidagi shartlar bajarilsa: 1. X+Y=Y+X X, Y V 2. X+(Y+Z)=(X+Y)+Z X,Y,Z V 3. V da shunday element mavjudki, har qanday XV uchun X+=X bajariladi. 4. V dagi ixtiyoriy X element uchun unga qarama-qarshi deb nomlanadigan shunday (-X)V element mavjudki , X+(-X)= o’rinli; 5. (+)X=X+X , R, V 6. (X+Y)=X+Y R,X,YV 7. (X)=()X ,R,XV 8. 1x=x 1 R, XV u holda V to’plamda Rmaydon ustida vektor fazo deyiladi. R va S maydonlar uchun RS munosabat o’rinli ekanligidan xar bir kompleks vektor fazoni xaqiqiy vektor fazoni xaqiqiy vektor fazosi sifatida qarash mumkin. Misollar: 1. R va S sonlar maydonining xar biri o’zi ustida vektor fazo bo’ladi. Bundan tashqari S maydonning R maydon ustida vektor fazo ham deb qarash mumkin. 2. Darajasi n(n0) dan katta bo’lmagan haqiqiy (yoki kompleks) koeffistentli bir o’zgaruvchili barcha ko’p hadlar to’plami KnX haqiqiy (yoki kompleks) vektor fazo bo’ladi. 3. Darajasi 5 ga teng bo’lgan haqiqiy koeffistentli yuir o’zgaruvchili barcha ko’p hadlar to’plami vektor fazo tashkil etmaydi, chunki darajasi 5 gateng bo’lmagan ko’phad bo’lishi mumkin. 4. L2–fazo L2=X=(X1,X2…, Xn…)xi R, 2 < }, ya’ni L2 to’plamning elementlari 2 < (1) shartni qanoatlantiruvchi haqiqiy sonlarning ketma-ketliklardan tashkil topgan. Agar bu to’plamda ikkita vektorning yig’indisini X+U=(x1, x2, ..., xn…)+(y1, y2, …,yn…)=(x1+y1, x2+y2,…, xn+yn…) tenglik bilan, vektorni songa ko’paytirish amalini esa x=(x1,x2, …,xn...) tenglik bilan aniqlasak, L2 to’plam haqiqiy vektor fazo bo’ladi, L2 to’plamdan olingan ikkita x va u vektorlarning yig’indisi yana shu to’plamga tegishli bo’lishi, ya’ni yig’indi vektorning (1) shartni qanoatlantirishi quydagicha isbotlanadi. X,UL2 elementlar uchun x+u=(x1+y1, x2+y2,...,xn+yn…) vektorni quramiz. Quyidagi tenglik (xi-yi)20 Har qanday xi va yi xaqiqiy sonlar uchun bajariladi. Bundan xi2+yi22 xi yi yoki 2xi2+2yi2(xi + yi)2 kelib chiqadi. Bu tenglikdan foydalanib ifoda uchun 2( + ) tenglik bajarilishini hosil qilamiz. Demak < tengsizlik ham o’rinli bo’ladi, ya’ni x+uL2 kelib chiqadi. 5. m-fazo, m to’plam chegaralangan barcha ketma-ketliklardan tashkil topgan bo’lsin, ya’ni {x={xn}EKXxiKX } Bu to’plam ham xuddi yuqoridagidek usul bilan amallarni aniqlasak, uning haqiqiy vektor fazo ekanligini ko’rsatish mumkin. 6. s-fazo. s-to’plam barcha haqiqiy ketma-ketliklardan iborat, ya’ni S={x={xn}xiR} Bu to’plam yuqoridagi L2 va m to’plamlar kabi vektor fazo tashkil etadi. 7. S[a,b]-to’plam [a,b] oraliqda uzluksiz bo’lgan haqiqiy (yoki kompleks) o’zgaruvchi li barcha funksiyalardan tashkil topgan. Unda (f+g)(x)=f(x)+g(x) f,gC[a,b] ( f)(x)= f(x) R(yoki C) fC[a,b] tengliklar bilan vektorlarni qo’shish va vektorlarni songa ko’paytirish amallarini aniqlasak, vektor fazo ta’rifidagi 1-8 shartlar bajariladi, ya’ni C[a,b] to’plam haqiqiy (yoki kompleks) vektor fazo tashkil etadi. Vto’plam Rmaydon ustida vektor fazo tashkil etilsin.Agar V fazoning x,u,.....,z vektori uchun kamida bittasi 0 dan farqli bo’lgan ,,..., R skalyarlar mavjud bo’lib, x+u+...z=0 (2) tenglik bajarilsa, u holda x,u,...,z vektorlar sistemasi chiziqli bog’langan, agar (1) tenglik faqatgina barcha skalyarlar ==…==0 bo’lgandagina bajarilsa, bu vektorlar sistemasini chiziqli erkli deyiladi. Misollar: 1. S to’plam haqiqiy vektor fazo bo’lib, uning x=2+i y=-1+3i vektorlarni chiziqli bog’lanmagandir. Haqiqatdan ham, x+u=0 , R ya’ni (2+i)+ (-1+3i)=0 tenglikdan (2-)+(-3) i=0 tenglik kelib chiqadi. Kompleks sonlarning tenglik shartidan foydalanib, 2-=0 -3=0 sistemani hosil qilamiz. Oxirgi sistema faqatgina =0 va =0 trivial echimga ega bo’ladi. Demak x va u vektorlar chiziqli erklidir. Agar S to’plam o’zi ustida vektor fazo deb qarasak, berilgan x=2+I va y=-1+3i vektorlar chiziqli bog’langan bo’ladi, chunki x+u=0 (2) tenglikni qanoatlantiruvchi va lar kompleks son bo’lishini e’tiborga olsak, bu (2) tenglama cheksiz ko’p echimga ega bo’ladi. Masalan =1 bo’lsa, (2+i)-1+3i=0 = yoki = (-1-7i)0 ya’ni =- (2’) tenglamani bitta echimi bo’ladi. 2. Kn[x] vektor fazoning f1(x)=1, f2(x)=x, f3(x)=x2, f4(x)=x3 vektorlari sistemasi chiziqli bog’lanmagan. Haqiqatdan ham, 1f1+2f2+3f3+nfn=0 tenglik 1+2x+3x2+4x3=0 ko’rinishga ega bo’ladi. Ko’phadlarning tenglik shartidan foydalanib, 1=2=3=4=0 tengliklarni hosil qilamiz. Demak f1, f2, f3, f4 vektorlar sistemasini chiziqli erklidir. Shunisi e’tiborligi, bu to’plamda ixtiyoriy son nN uchun n ta vektordan iborat chiziqli erkli sistemani ko’rsatish mumkin. Ta’rif. Agar V to’plam Rmaydon ustida vektor fazo bo’lib, unda n ta vektordan iborat chiziqli erkli sistema mavjud, lekin har qanday n + 1ta vektor sistemasi chiziqli bog’liq bo’lsa, V fazoni no’lchamli vektor fazo deyiladi. Agar fazoda soni ixtiyoriy bo’lgan chiziqli erkli sistema mavjud bo’lsa, bu qazoni cheksiz o’lchamli deyiladi. n o’lchamli vektor fazodagi har qanday n ta vektordan iborat chiziqli erkli sistema fazoning bazisi deyiladi. Misollar. 1. S to’plam o’zi ustida o’lami 1 ga teng bo’lgan fazo bo’ladi, chunki har qanda ikkita vektor chiziqli bog’langan bo’ladi. Uning 0 dan farqli ixtiyoriy elimenti fazoning bazii bo’la oladi. Xuddi shu to’plam haqiqiy sonlar maydoni ustida 2 o’lchamli vektor fazo tashkil etadi. Chunki un dagi x=2+I, u=-1+3i vektorlar sistemasi iziqli erkli va har qanday 3 ta vektordan iborat sistema chiziqli bog’langan bo’ladi. 2.Sa,v -vektor fazodagi f1(x)=1, f2(x)=x, f3(x)=x2,...,fn(x)=xn-1,... ko’rinishdagi cheksiz sistemaning chekli ondagi elementlari izili erkli bo’ladi. Shuning uchun bu fazo cheksiz o’lamlidir. Xuddi shuningdek L2,m,s-fazolarning ham cheksiz o’lchamliligini ko’ratish mumkin. Cheksiz o’lchamli V vektor fazoda ham bazis tushunchasini kiritish mumkin .G=x chiziqli erkli sistema bo’lib, Vning ixtiyoriy xV elementi uchun shunday x1, x2, ..., xkG vektorlar sitemasi va 1, 2, ...,k sonlar topilsaki, ular uchun x=1 x1+2x2+…+kxk tenglik bajarilsa, u holda G fazoning Hamel (Gamel) bazisi deyiladi. Ixtiyoriy vektor fazoda Hamel bazisi mavjudligini ko’rsatish mumkin. Agar L to’plam V vektor fazoning qism to’plami bo’lib, L to’plamning o’zi ham V fazodagi vektorlarni qo’shish va R maydoning elementi bilan V fazoning vektorini ko’paytirish amallariga nisbatan vektor fazo tashkil etsa, u holda L to’plamni V fazoning qism fazosi deyiladi. V to’plam R maydoni ustida chiziqli fazo bo’lib, SV, S0 shartlar bajarilsin. U holda S to’plamni o’z ichiga olgan eng kichik qism fazo L ni S ning chiziqli qobig’i deyiladi. Uning ixtiyoriy elementi x ni quyidagicha yozish mumkin: I ai iS, i1 Bunday holda, L=[S] ko’rinishda belgilanadi va L ni S bilan hosil qilingan qism fazo deyiladi. Ba’zi hollarda [S]=V bo’lishi ham mumkin. Agar S chiziqli erkli vektorlar sistemasidan iborat bo’lib, [S]=V tenglik bajarilsa, u holda S Hamel bazisi bo’ladi. Agar V1 to’plam V fazoning qism fazosi bo’lsa, V fazodan olingan x va u vektorlar uchun x-uV1 shart bajarilganda bu x, u elementlarning ekvivalent deb atasak, u holda bu munosabat ekvivalentlik munosabatini tashkil etadi. Bu ekvivalentlik munosabati bo’yicha qurilgan barcha ekvivalentlik sinflari to’plamini V / V1 ko’rinishda belgilanadi V/V1 to’plamga tegishli bo’lgan 2 ta A va V sinflarning yig’indisini aniqlaymiz. Buning uchun A va V sinflardan ixtiyoriy xA, uV elementlarni olib ularning yig’indisi x+u elementni o’z ichiga olgan sinf S ni A va V sinflarning yig’indisi deb qabul qilamiz, ya’ni A+V=S Bu amal A va V sinflardan olingan x va u elementlarning tanlanishiga bog’liq emasligini isbotlash mumkin. Xuddi shuningdek, A sinfdan olingan ixtiyoriy x element bilan R sonning ko’paytmasi x elementni o’z ichiga oluvchi sinfni A sinfni ga ko’paytmasi deb qabul qilamiz. U holda V/V1 to’plam aniqlangan amallarga nisbatan vektor fazo tashkil etadi. Bu fazoni V ning V1 qism fazosi bo’yicha vektor fazosi deyiladi va uning o’lami V1 fazoning o’lchami (qo’shimcha o’lchami) deyiladi. Agar {V}I bir necha vektor fazolar bo’lsa, ularning dekart ko’paytmasi bo’lsin V=v to’plamda ham V dagi amallardan foydalanib vektorlarni qo’shish va songa ko’paytirish amallarini aniqlash mumkin. Bu to’plam ham vektor fazo tashkil etib, uni berilgan fazolarning to’g’ri ko’paytmasi deyiladi. Download 183.56 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling