Chiziqli optimallashtirish masalalarini yechish

Chiziqli optimallashtirish masalalarini yechish
Hayotda optimallashtirish masalalari juda ko‘p uchraydi va doimo muammoli vaziyatlarni yuzaga keltiradi. Bunday muammolarni Excelda qulay tarzda tez va aniq yechish imkoniyati yaratilgan. Quyida ba’zi chiziqli optimallashtirish masalalarini yechish misollar yordamida tushuntiriladi.
1-masala. Bir zavod 4 xil sifatdagi M1, M2, M3, M4 mahsulot ishlab chiqarish imkoniga ega. Bu mahsulotlar 3 turdagi xom-ashyodan tayyorlanadi. Zavodga 1 kunda 1-turdagi xom-ashyo 30 tonna, 2-turdagi xom-ashyo 25 tonna, 3-turdagi xom-ashyo 40 tonna keltiriladi va ularning barchasi ishlatilishi lozim. 1 tonna mahsulot ishlab chiqarish uchun sarflanadigan xom-ashyo miqdori 1-jadvalda tonna hisobida keltirilgan.
1-jadval

Xom- ashyo	1 tonna mahsulot ishlab chiqarish uchun sarflanadigan xom-ashyo, t				Xom- ashyo zahirasi, t
	M1	M2	M3	M4
1-tur	1	4	7	3	100
2-tur	5	2	1	3	120
3-tur	3	2	4	6	110

Bozorda 1 tonna M1 mahsulot 10, 1 tonna M2 mahsulot 15, 1 tonna M3 mahsulot 8, 1 tonna M4 mahsulot 18 AQSH dollariga sotilsa, maksimal foyda olish uchun M1, M2, M3, M4 mahsulotlarni qancha miqdordan ishlab chiqarish lozim?
Bajarish. Bu masalani yechish uchun avvalo masalaning matematik modelini qurib olamiz.
M1, M2, M3, M4 mahsulotlarning ishlab chiqarilish miqdorlarini mos ravishda x_1, x_2, x_3, x₄ noma’lumlar bilan belgilab olamiz. U holda umumiy foyda f =10x1+15x2+8x3+18x4 ga teng bo‘ladi.
Ishlab chiqarish uchun ketadigan xom-ashyo miqdorlari zavodga keltiriladigan xom-ashyo miqdorlariga teng bo‘lishi lozim. Ya’ni,
x1 + 4x2 + 7x3 +3x4 ≤ 100,
5x1 +2x2 + x3 + 3x4 ≤ 120
3x1 + 2x2 + 4x3 + 6x4 ≤ 110
Bundan tashqari M1, M2, M3, M4 mahsulotlarning ishlab chiqarilish miqdorlari albatta nomanfiy sonlar bo‘lishi lozim. Ya’ni x₁ ≥0_, x₂≥0_, x₃≥0_, x₄≥0.
Demak, f =10x1+15x2+8x3+18x4 funksiyaning maksimum qiymatini quyidagi chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan holda topish lozim.
x1 + 4x2 + 7x3 +3x4 ≤ 100,
5x1 +2x2 + x3 + 3x4 ≤ 120
3x1 + 2x2 + 4x3 + 6x4 ≤ 110
x₁ ≥0_, x₂≥0_, x₃≥0_, x₄≥0.
Excel ishchi varag‘ining A5:A7 maydoniga chegaraviy shartlarning chap tomonlarini, B5:B7 maydoniga chegaraviy shartlarning o‘ng tomonlarini, E4 katagiga maqsad funksiyasini kiritamiz (1-rasm).


1-rasm. Ma’lumot va formulalarni kiritish
Сервис menyusining Поиск решения buyrug‘ini bosamiz. Ochilgan Поиск решения oynasining Установить целевую ячейку maydoniga maqsad funksiyasi uchun $E$4, topiladigan qiymatlar uchun Изменяя ячейки maydoniga $A$3:$D$3, chegaraviy shartlarni kiritish uchun Ограничения maydoniga $A$3:$D$3>=0 va $A$5:$A$7=$B$5:$B$7 shartlarni kiritamiz. Shu yerda bir narsani aytib o‘tish lozimki, bu shartlarni klaviatura orqali kiritmasdan bevosita sichqoncha yordamida ishchi varaqdagi kerakli katak yoki maydonni tanlash yordamida kiritish ham mumkin. Равной guruhining максимальному значению qatorini tanlab, Выполнить tugmasini bosamiz (2-rasm).

2-rasm. Поиск решения oynasi
Agar javob topilgan bo‘lsa Результаты поиска решения natija oynasi quyidagi ko‘rinishda ochiladi (3-rasm):

3-rasm. Поиск решения natija oynasi
OK tugmasini bosamiz. Excel ishchi varag‘ining A3:D3 maydonida x_1, x_2, x_3, x₄ larning qiymatlari, E4 maydonida f maqsad funksiyasining qiymati hosil bo‘ladi (4-rasm).

4-rasm. 1-masala javobining umumiy ko‘rinishi
Demak, 1 kunda M1 mahsulot 13,63 t, M2 mahsulot 17,27 t, M4 mahsulot 5,75 t ishlab chiqarilishi, M3 mahsulot ishlab chiqarilmasligi lozim. Barcha mahsulotlar 499,1 dollar foyda keltirishi mumkin.

Masala

6-variant

f =10x1+15x2+8x3+18x4
x1 + 4x2 + 7x3 +3x4 ≤ 100,
5x1 +2x2 + x3 + 3x4 ≤ 120
3x1 + 2x2 + 4x3 + 6x4 ≤ 40
x_i ≥ 0, i = 1,4