Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechishning Gauss va Kramer usuli

7-misol. Ushbu sistemani yechaylik:



Echish . Bevosita hisoblash orkali


ekaniga ishonch hosil qilish oson. Bunday ko’rinadiki sistema yechimga ega emas.


8-misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching:



Yechish. Sistemada ekanini ko’rish mumkin. Sistemaning dastlabki ikkita tenglamasini


ko’rinishda yozamiz. Bu sistemani Kramer qoidasi bo’yicha yechamiz.



Endi



Demak, berilgan sistema cheksiz ko’p yechimga ega ekan, chunki ni ixtiyoriy olib, va larning mos qiymatlarini topamiz. Masalan, deb olamiz, ni, deb olamiz, larni topamiz va hakozo.


Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish. CHiziqli tenglamalar sistemasini yechishning eng ko’p ishlatiladigan usullaridan biri Gauss usulidir. Uning mohiyatini uch noma’lumli uchta chiziqli tenglama uchun ko’rsatamiz.

(1)
Bunda bo’lsin. Birinchi tenglamaning hamma hadlarini ga bo’lamiz va uni ga ko’paytirib mos ravishda ikkinchi va uchinchi tenglamalarga qo’shamiz. Bu holda quyidagi tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi:



bu yerda va h.k.


bo’lib, boshqa tenglamalarda noma’lumlar oldidagi koeffitsientlari orasida noldan farqlilari bo’lsa, u holda bu tenglamalardan birini birinchi tenglamaning o’rni bilan almashtiramiz, keyin yuqoridagi amallarni bajaramiz. Bu birinchi qadam bo’ladi. Demak, birinchi qadamda birinchi tenglamada - noma’lum qolib, qolgan tenglamalardan ketma-ket - noma’lumni yo’qotamiz. Ikkinchi qadamda birinchi tenglama o’z o’rnida qolib, ikkinchi va uchinchi tenglama uchun yuqoridagi amallarni bajaramiz, ya’ni ikkinchi tenglamada noma’lumni qoldirib, uchinchi tenglamadan uni yo’qotamiz. SHunday qilib, bu amallar natijasida (1) tenglamalar sistemasi

(2)
ko’rinishga keladi. Endi hamma noma’lumlarni so’nggi tenglamadan boshlab teskari qadam bilan topish qoldi.


9-misol.
tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching.

Yechish. Birinchi tenglamani (-4) va (-3) ga ko’paytirib mos ravishda ikkinchi va uchinchi tenglamalarga qo’shamiz:

,
ya’ni bo’ladi.
SHu bilan birinchi qadam tugadi.
Ikkinchi qadamda, birinchi tenglamani o’z o’rnida qoldirib, ikkinchi tenglamani (-7) ga bo’lib yozamiz:



Uchinchi tenglamadan noma’lumni yo’qotamiz, buning uchun ikkinchi tenglamani (-1) ga ko’paytirib uchinchi tenglamaga qo’shamiz:

Oxirgi tenglamadan ni topamiz. ni ikkinchi tenglamaga qo’ysak, yoki bo’ladi. larni birinchi tenglamaga quysak x₁=1 bo’ladi. SHunday qilib, .

Gauss usulining xususiyati shundan iboratki, unda sistemaning birgalikda masalasini oldindan aniqlab olish talab etilmaydi va:
1) sistema birgalikda va aniq bo’lsa, u holda usul yagona yechimga olib keladi;
2) sistema birgalikda va aniqmas bo’lsa, bu holda biror qadamda ikkita aynan teng tenglama hosil bo’ladi va shunday qilib, tenglamalar soni noma’lumlar sonidan bitta kam bo’lib qoladi;
3) sistema birgalikda bo’lmasa, u holda biror qadamda chiqarilayotgan (yo’qotilayotgan) noma’lum bilan birgalikda qolgan barcha noma’lumlar ham yo’qotiladi, o’ng tomonda esa noldan farqli ozod had qo
Bizga noma’lumli - ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:

(1)
Bu sistema koeffitsientlaridan tuzilgan matritsa quyidagicha bo’ladi:



Biz faqat maxsusmas matritsa bo’lgan holnigina qaraymiz. (1) sistemaning chap tomonida matritsani


matritsaga ko’paytirishdan kelib chiqadigan satrli va bir ustunli matritsaning elementlari, sistemaning o’ng tomonida esa

matritsaning elementlari turibdi. SHu sababli ikki matritsaning tenglik ta’rifiga asosan, (1) ni quyidagicha

yoki, qisqacha (2) ko’rinishda yozish mumkin. Bu tenglamaga maritsaviy tenglama deyiladi. maxsusmas matritsa bo’lgani sababli, unga teskari bulgan matritsa mavjud, shu sababli (2) ni chap tomondan ga ko’paytiramiz:

, lekin , demak,