Chiziqli tenglamalar sistemasi muvozanat holatining turlari. Reja

Termiz davlat universiteti fizika – matematika fakulteti fizika ta’lim yo’nalishi 203-gruh talabasi Mamatqulova Rayhonning Diffrensial tenglamalar fanidan tayorladan slayti
Chiziqli tenglamalar sistemasi muvozanat holatining turlari.
Reja:
1.O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasi
2. O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasini yechish usullari
O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi.
Bunday sistemaning sodda ko’rinishi
dan iborat, bunda
o’zgarmas sonlar.
esa ko’rilayotgan oraliqda aniqlangan va uzluksiz funksiyadir.
Ma’lumki, bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topish uchun, unga mos bo’lgan bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topishga to’g’ri keladi.
Shuning uchun xam biz dastavval o’zgarmas koeffisiyentli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini kvadraturasiz topish usulini qaraymiz.
Bir jinsli, o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin.
Ma’lumki (2) sistemani, unga ekvivalent bo’lgan bitta n-tartibli differensial tenglamaga keltirish mumkin.
Shuning uchun (2) sistemasining xususiy yechimlarini
(2)
(3)
ko’rinishda izlaymiz.
Bunda
va
lar o’zgarmas sonlardir.
Ularni shunday tanlab olamizki (3), (2) sistemani qanoatlantirsin.
Buning uchun (2) ga (3) olib borib qo’yamiz.
yoki
buni ochib yozsak
(4).
Bu
larga nisbatan bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasidir.Bu sistema trivial bo’lmagan yechimga ega bulishligi uchun, uning asos determinanti nolga teng bo’lishi zarur.
(5).
(5) ga (2) sistemaga mos bo’lgan xarakteristik tenglama deyiladi. Uning ildizlariga xarakteristik son deyiladi.
(5)
ga nisbatan n- darajali algebraik tenglamadir
(3), (2) sistemaning xususiy yechimi bo’lishligi uchun
(5) xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lishi kerak.
(4) ning koeffisiyentlaridan ushbu matrisani tuzamiz
(6).
a) Faraz etaylik xarakteristik tenglamaning
ildizlari haqiqiy va bir-biriga teng bo’lmasin.
Agar
ildizni (5) ga olib borib qo’ysak
(7) bo’ladi.
Isbot etamizkim
qiymatda (5) determinantning xech bo’lmaganda n-1 tartibli minorlaridan biri nolga teng bo’lmaydi.
Haqiqatan xam
xarakteristik tenglamaning oddiy ildizi bo’lgani uchun
(8)
nolga teng bo’lmaydi.
Ikkinchi tomondan
(9)
Bunda
determinantdagi
elementining algebraik tuldiruvchisi bo’ladi.Agar
kiymatini (9) keltirib qo’ysak (8) ga asosan
larning xech bo’lmaganda biri nolga teng bo’lmaydi, ya’ni (9) dagi n-1 tartibli determinantlardan xech bo’lmaganda biri nolga teng bo’lmaydi.
Bundan, (6) matrisaning rangi n-1 ga tengligi kelib chiqadi. Ya’ni (4) sistemadagi tenglamalardan biri qolganlarini natijasi ekanligi kelib chiqadi.
U xolda (4) sistema trivial bo’lmagan
yechimlarga ega . Lekin matrisaning rangi n-1 ga teng bo’lgani uchun, bu ildizlar bir-biridan o’zgarmas songa fark kiladi.
Bunda
lar o’zgarmas sonlardir.
Agar
teng deb, bu qiymatlarni (3) ga qo’ysak, xarakteristik tenglamaning
ildiziga mos bo’lgan (2) sistemaning xususiy yechimlari.
(10)
ga ega bo’lamiz.
Ma’lumki (2) sistemaning xususiy yechimlarini biror o’zgarmas songa ko’paytirsak, xosil bo’lgan ifoda yana berilgan sistemaning yechimi bo’ladi.
Shunga kura, xarakteristik tenglamaning
ildizlari uchun yukoridagi muloxazalarni ishlatsak, sistemaning n- ta (10) ko’rinishdagi xususiy yechimlarini aniqlash mumkin.
Isbot etish mumkinkim, bu topilgan xususiy yechimlar, berilgan sistemaning fundamental yechimlar sistemasini tashkil etadi.
Misol 1
xarakteristik tenglama tuzamiz
b) Faraz etaylik xarakteristik tenglama
Konpleks ildizgaega bo’lsin. Xarakteristik tenglamaning koeffisiyentlari haqiqiy sonalardan iborat bo’lgani uchunu
Ga qo’shma bo’lgan
Kompleks ildizga xamega bo’ladi.. Xarakteristik tenglamaning
il diziga mos bo’lgan (2) sistemaning yechimi
kompleks son bo’lgani uchun uni
ko’rinishda yozish mumkin. U xolda
yechimlarga ega bulamiz. Bundan kurinadikim xarakteristik tenglamaning bir juft kompleks ildiziga (2) sistemaning 2 ta haqiqiy yechimi mos keladi.